Betekenis/waarde (nut) complexe getallen?

Moderators: dirkwb, Xilvo

Berichten: 29

Betekenis/waarde (nut) complexe getallen?

Sinds een 2-tal maanden zoek ik gemiddeld 1 uur per dag naar de oplossing en betekenis van imaginaire getallen, en ik begin sterren te zien. ;)

product: x1 * x2 = X

som: x1 + x2 = Y <=> x2 = Y - x1

substitutie: x1 * (Y - x1) = X <=> x1² - Yx1 + X = 0

Neem onderstaande 2 voorbeelden waarbij D < 0:

- A

10

* 18

180

3,16227766 = wortel(10)

+ 4,242640687 = wortel(18)

7,404918347

-b/(2*a)= 3,702459174

+-i*D/2= 12,89541764

_ _ _

- B

10

* 18

180



2 = 10 - 8

+ 10 = 18 - 8

12

-b/(2*a)= 6

+-i*D/2= 12

Er wordt een resultaat bekomen, maar geen oplossing. Niettegenstaande er een duidelijk oorzakelijk verband is tussen som en product (wortel en -8), worden de getallen 10 en 18 niet gevonden.

Meer nog: doorheen de coördinaat (3,70246 ; 12,895i) en (6 ; 12i) gaan oneindig veel oplossingen (2e-graads parabolen) !!

2000 jaar terug heeft iemand van enkele broden en vissen een paar duidenden kunnen voeden.

Ik laat niet alleen 2 getallen verdwijnen, er komen er oneindig veel in de plaats. Wie doet beter?

Op wiki staat de onstaansgeschiedenis van de imaginaire getallen.

Gezien er toen nog geen radar bestond, waarom heeft men zich toegelegd op dit resultaat dat geen oplossing is?

Is dit een nutteloze wiskundige verdwijntruc die ik beter op mijn belastingsbrief toepas?

De huidige toepassingen buiten beschouwing gelaten: wat betekent dit resultaat? Wat is de waarde van dit resultaat zonder oplossing, en hoe aan de oplossing (10 en 18) geraken?

Thanks.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Betekenis/waarde (nut) complexe getallen?

MarkC schreef:product: x1 * x2 = X

som: x1 + x2 = Y <=> x2 = Y - x1

substitutie: x1 * (Y - x1) = X <=> x1² - Yx1 + X = 0

Neem onderstaande 2 voorbeelden waarbij D < 0:

- A

10

* 18

180

3,16227766 = wortel(10)

+ 4,242640687 = wortel(18)

7,404918347

-b/(2*a)= 3,702459174

+-i*D/2= 12,89541764

_ _ _

.
Wat is in vb A 10 en wat 18 ivm de kwadr verg in x1?

Wat is in die verg X en Y?

In een kwadr ax²+bx+c=0 en al dan niet complexe wortels geldt altijd voor de opl x1 en x2:

x1+x2=-b/a en x1*x2=c/a.

Kan je dit bewijzen?

Berichten: 29

Re: Betekenis/waarde (nut) complexe getallen?

Thanks voor antwoord Safe

Juist, niet volledig duidelijk geweest.

x1 * x2 = X = product

"gewijzigde x1" + "gewijzigde x2" = Y = som

=> waaruit de vergelijking: x² - Yx + X = 0

vergelijking A wordt: x² - 7,404918347 * x + 180 = 0

vergelijking B wordt: x² - 12 * x + 180 = 0
Safe schreef:In een kwadr ax²+bx+c=0 en al dan niet complexe wortels geldt altijd voor de opl x1 en x2:

x1+x2=-b/a en x1*x2=c/a.

Kan je dit bewijzen?
Dit begrijp ik niet?

Ik pas enkel de formules toe geldend voor een 2e-graads-vergelijking:

D = wortel(4ac - b²) gezien D < 0

x1 = (-b + iD)/2a

x2 = (-b - iD)/2a

waarbij: ax² + bx + c = 0 analoog met x² - Yx + X = 0

Is er een mogelijkheid om x1 en x2 te vinden, zijnde 10 en 18 en/of hun gewijzigde vorm?

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Betekenis/waarde (nut) complexe getallen?

Is er een mogelijkheid om x1 en x2 te vinden, zijnde 10 en 18 en/of hun gewijzigde vorm?
Lees ik nu dat x1=10 en x2 =18? Dat zijn reële getallen en niet complex.

Deze opl voldoen aan a(x-10)(x-18)=0 met a constant (die zou je complex kunnen nemen).

Elke kwadr verg ax²+bx+c=0 met a,b,c reëel waarvan de discr negatief is heeft complexe opl.

Wat wil je nu onderzoeken? En waarom? Heb je een opdracht?

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: Betekenis/waarde (nut) complexe getallen?

Sinds een 2-tal maanden zoek ik gemiddeld 1 uur per dag naar de oplossing en betekenis van imaginaire getallen, en ik begin sterren te zien.
Wat bedoelde je hiermee, de 'waarde' of betekenis van imaginaire getallen in het algemeen? Of zoek je een specifiek complex getal voor een bepaalde vergelijking?

Beide vergelijkingen die je geeft hebben 2 oplossingen: vergelijking A, vergelijking B.

In beide gevallen geldt dat de twee oplossingen x1 en x2 complex zijn, dus niet 10 of 18. Geen idee wat je bedoelt met "gewijzigde vorm", wat zou er gewijzigd moeten zijn en hoe?
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: Betekenis/waarde (nut) complexe getallen?

MarkC schreef:Op wiki staat de onstaansgeschiedenis van de imaginaire getallen.

Gezien er toen nog geen radar bestond, waarom heeft men zich toegelegd op dit resultaat dat geen oplossing is?

Is dit een nutteloze wiskundige verdwijntruc die ik beter op mijn belastingsbrief toepas?
Hoe bedoel je, "dit resultaat dat geen oplossing is"? Er zijn gewoon twee oplossingen, toevallig beide complex.

Misschien zit je met dat imaginaire gedoe in je maag, komt dat voor jou soms "verzonnen" of kunstmatig over? In dat geval: vind je dat een vergelijking zoals bijvoorbeeld x+5=0 een oplossing heeft? Waarom zou je complexe getallen geen oplossing noemen, en negatieve getallen wel?
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

Berichten: 29

Re: Betekenis/waarde (nut) complexe getallen?

Enige vertraging met antwoord mijnentwege gezien we mogelijks een regering hebben in BE, en welke prijs betalen we ervoor...

En dit terwijl er in NL een nota 1 dag te vroeg is gelekt in de pers.

Bedankt leden voor jullie reactie en tijd.

In mijn voorbeelden A en B zie je een duidelijk oorzakelijk verband tussen het product en de som.

Voorbeeld A:

product = X = 10 * 18 = 180

som = Y = wortel(10) + wortel (18) = 7,404918347

Het bekomen resultaat van de vergelijking x² - 7,404918347 * x + 180 = 0 zijn complexe getallen, en dit terwijl ik van reële getallen ben vertrokken.

Idem met voorbeeld B:

product = X = 10 * 18 = 180

som = Y = (10 - 8) + (18 - 8) = 12.

Ook hier is het bekomen resultaat via de vergelijking x² - 12 * x + 180 = 0 een complex getal, en dit terwijl ik enkel met reële getallen ben gestart.

Waar zijn de reële getallen (10, 18, wortel(10), wortel(18), 10-8, 18-8) te vinden in het bekomen resultaat met imaginaire getallen?

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Betekenis/waarde (nut) complexe getallen?

Graag antwoord op m'n vragen ... , anders is het onmogelijk je te helpen.

Berichten: 29

Re: Betekenis/waarde (nut) complexe getallen?

Vraag is ontstaan uit interesse van een programma op TV. Er werd aangetoond dat negatieve getallen enkel hun waarde kunnen hebben bv op een bankrekening, want men kan dus niet -1 potlood hebben.

Verder sprak men dan ook over imaginaire getallen, en hun toepassing bij bv radar. Ik herinnerde me dat ik imaginaire getallen en de principes van radar ooit heb geleerd, maar nooit de connectie heb gemaakt.

Dus ging ik op "onderzoek" naar imaginaire getallen, en hoe deze ontstaan. En hierbij heb ik gezien hoe reële getallen "verdwijnen".

Ja, x1 = 10 en x2 = 18

Noem het dan x3 = wortel(10) en x4 = wortel(18).

Zodat x² - 7,404918347 * x + 180 = 0

Feit is dat ik vertrek van reële getallen (dus niet van imaginaire getallen) om een 2e-graads vergelijking op te stellen, en ik enkel complexe getallen als resultaat krijg.

Kan je met het bekomen imaginair resultaat de reële getallen 10, 18, wortel(10) of wortel(18) terugvinden, omdat we toch allen in eerste instantie werken met reële getallen en niet met imagnaire getallen. Dus zou het ook mooi zijn om een reële oplossing te hebben.

Mijn vraag is: kan men x1, x2, x3, x4 waarmee ik uiteindelijk de 2e-graads vergelijking mee heb opgesteld, terugvinden met het imaginair resultaat?

Indien niet -> verdwijntruc + oneindig veel oplossingen => case closed voor mij.

Thanks

Berichten: 29

Re: Betekenis/waarde (nut) complexe getallen?

Dus ja Rogier, het imaginaire gedoe zit in de maag...

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Betekenis/waarde (nut) complexe getallen?

Een heel verhaal ...
Dus ging ik op "onderzoek" naar imaginaire getallen, en hoe deze ontstaan. En hierbij heb ik gezien hoe reële getallen "verdwijnen".
Deze zin is me volstrekt duister.
Feit is dat ik vertrek van reële getallen (dus niet van imaginaire getallen) om een 2e-graads vergelijking op te stellen, en ik enkel complexe getallen als resultaat krijg.
Dit kan en dat heb ik ook aangegeven, maar maak het eenvoudig:

Los eens op: x²+1=0
Mijn vraag is: kan men x1, x2, x3, x4 waarmee ik uiteindelijk de 2e-graads vergelijking mee heb opgesteld, terugvinden met het imaginair resultaat?

Indien niet -> verdwijntruc + oneindig veel oplossingen => case closed voor mij.
Ik ben bang dat ik je hiermee niet kan helpen.

Berichten: 29

Re: Betekenis/waarde (nut) complexe getallen?

x² + 1= 0

Ok, geen reële oplossing mogelijk.

Bedankt Safe en Rogier voor jullie tijd.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Betekenis/waarde (nut) complexe getallen?

OK! Succes met je zoektocht, het is de moeite waard ...

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Betekenis/waarde (nut) complexe getallen?

MarkC schreef:x² + 1= 0

Ok, geen reële oplossing mogelijk.
Maar je kan deze wel oplossen ... ?

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.505

Re: Betekenis/waarde (nut) complexe getallen?

MarkC schreef:x² + 1= 0

Ok, geen reële oplossing mogelijk.
Die conclusie is juist. Door nu een nieuw getal i te introduceren met de eigenschap dat i² = -1 lukt het wel om deze vergelijking op te lossen. Uitgaande van i² = -1 kunnen we nu schrijven: x²+1 = x²-i² = (x+i)(x-i), dus x²+1 = 0 geeft: (x+i)(x-i) = 0, dus x+i = 0

of x-i = 0, dus x = -i of x = i, waarbij i de imaginaire eenheid is. Met behulp van complexe getallen is het dus mogelijk om oplossingen voor ax²+bx+c = 0 te vinden als de discriminant negatief is.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Reageer