Ik zat onlangs wat te zoeken naar een bewijs of het product van 2 vierkantswortels van verschillende priemfactoren steeds irrationaal is.
Ik probeerde dit op eenzelfde manier als van
\(\sqrt{2}\)
.Dit heb ik gevonden maar ik stuit op een probleem denk ik:
\(p_1 \in P, p_2\in P, p_1 \not = p_2\)
Stel \(\sqrt{p_1}\cdot \sqrt{p_2}\)
is wel rationaal:\(\sqrt{p_1}\cdot \sqrt{p_2} = \frac{a}{b}\)
(met \(a \in \mathbb{N}, b\in \mathbb{N}_0\)
en a:b onvereenvoudigbaar)\(p_1\cdot p_2\cdot b^2 = a^2\)
\(p_1 \mid a^2\)
\(p_1 \mid a\)
Er moet dus een getal bestaan dat vermenigvuldigt met \(p_1\)
a oplevert\(\exists n \in \mathbb{N}: p_1\cdot n = a\)
\(p_1\cdot p_2\cdot b^2 = a^2\)
(en uit het vorige volgt)\(p_1\cdot p_2 \cdot b^2 = p_1^2n^2\)
\(p_2\cdot b^2 = p_1\cdot n^2\)
\(b^2 = \frac{p_1}{p_2}n^2\)
(en dit vind ik wel mooi, gezien hier duidelijk uit blijkt dat \(p_1\not = p_2\)
, maar aan de andere kant ontstaat hier ook een probleem denk ik, wat indien n niet deelbaar is door \(p_2\)
?)en dan zou ik normaal vervolledigen:
\(p_1 \mid b^2\)
\(p_1\mid b\)
Beide zijn deelbaar door \(p_1\)
of maw de breuk is vereenvoudigbaar en de veronderstelling is fout, het is dus irrationaal.Hoe lost ik dat probleem op? Of moet ik dit op een volledig andere manier aanpakken?
Bedankt!
.
.