Bewijs
Inclusie 1)
\(f^{-1}\left(\cap_{j\in J}B_j\right) \subseteq \cap_{j\in J}f^{-1}(B_j)\)
Te bewijzen dat voor een willekeurige
\(c\)
geldt:
\(c\in f^{-1}\left(\cap_{j\in J}B_j\right) \Rightarrow c\in \cap_{j\in J}f^{-1}(B_j)\)
Als
\(c\in f^{-1}\left(\cap_{j\in J}B_j\right)\)
dan
\(f( c)\in \cap_{j\in J}B_j \)
en dus
\(f( c)\in B_1\cap B_2 \cap ... \cap B_J\)
. Dit impliceert in het feit dat
\(f( c)\in B_1 \cap f( c)\in B_2 \cap .... f( c) \in B_J\)
en bijgevolg
\(c \in \cap_{j\in J}f^{-1}(B_j)\)
Inclusie 2)
\(f^{-1}\left(\cap_{j\in J}B_j\right) \supseteq \cap_{j\in J}f^{-1}(B_j)\)
.
Te bewijzen dat voor een willekeurige
\(c\)
geldt:
\(c\in \cap_{j\in J}f^{-1}(B_j) \Rightarrow c \in f^{-1}\left(\cap_{j\in J}B_j\right)\)
Als
\(c\in \cap_{j\in J}f^{-1}(B_j)\)
dan
\(c \in f^{-1}(B_1)\)
en
\( C \in f^{-1}(B_2)\)
en.... en
\(c \in f^{-1}(B_J)\)
en dus
\(f( c)\in B_1\)
en
\(f( c)\in B_2\)
en ... en
\(f( c) \in (B_J)\)
bijgevolg
\(f( c)\in B_1\cap B_2 \cap ... \cap B_J\)
en dus
\(c \in f^{-1}\left(\cap_{j\in J}B_j\)