Toename / afname en limieten

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 682

Toename / afname en limieten

Goedendag,

Ik weet dat:
\(\lim_{\Delta t \to 0 }\frac{\Delta V}{\Delta t}=\frac{dV}{dt}\)
Uiteraard ook:
\(\lim_{\Delta t \to 0 }\frac{\Delta M}{\Delta t}=\frac{dM}{dt}\)
Maar wat geldt er voor:
\(\lim_{\Delta t \to 0 }\frac{\Delta M\Delta V}{\Delta t}\)
en waarom?

Alvast bedankt!
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:

http://www.wetenschapsforum.nl/index.ph ... opic=59270

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Toename / afname en limieten

Je suggereert dat M en V beide afh zijn van t. Denk dan aan de productregel ...
\(\lim_{\Delta t \to 0 }\frac{\Delta M\Delta V}{\Delta t}\)
Moet er niet staan:
\(\lim_{\Delta t \to 0 }\frac{\Delta (MV)}{\Delta t}\)

Gebruikersavatar
Berichten: 682

Re: Toename / afname en limieten

Bedankt voor uw antwoord, M en V zijn inderdaad beide afhankelijk van t.

Ik krijg:
\(\lim_{\Delta t \to 0 }\frac{\Delta M\Delta V}{\Delta t}=\lim_{\Delta t \to 0 }\left (\Delta M\frac{\Delta V}{\Delta t}\right )=\lim_{\Delta t \to 0 }\left (\Delta M\right )\cdot \lim_{\Delta t \to 0 }\left (\frac{\Delta V}{\Delta t}\right )=dM\cdot \frac{dV}{dt}=\frac{dMdV}{dt}=M\frac{dV}{dt}+V\frac{dM}{dt}\)
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:

http://www.wetenschapsforum.nl/index.ph ... opic=59270

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Toename / afname en limieten

Arie Bombarie schreef:Bedankt voor uw antwoord, M en V zijn inderdaad beide afhankelijk van t.

Ik krijg:
\(\lim_{\Delta t \to 0 }\frac{\Delta M\Delta V}{\Delta t}=\lim_{\Delta t \to 0 }\left (\Delta M\frac{\Delta V}{\Delta t}\right )\)
Hier komt 0 uit ...

Gebruikersavatar
Berichten: 682

Re: Toename / afname en limieten

Bedankt voor uw antwoord.

Alleen begrijp ik niet waarom daar 0 uitkomt.

Wat klopt er niet aan mijn uitwerking?
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:

http://www.wetenschapsforum.nl/index.ph ... opic=59270

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Toename / afname en limieten

\(\lim_{\Delta t \to 0 }\Delta M=0\)
Je reageert niet op mijn suggestie:
Moet er niet staan:
\(\lim_{\Delta t \to 0 }\frac{\Delta (MV)}{\Delta t}\)

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.572

Re: Toename / afname en limieten

Arie, mag ik vragen wat die M en V voorstellen. Is het een formule uit de natuurkunde?

Gebruikersavatar
Berichten: 682

Re: Toename / afname en limieten

Hartelijk dank voor de reacties!

Het volgende staat in een presentatie:

Afbeelding

In deze formule is M een massa en zijn u en v snelheden, deze zijn allen afhankelijk van t.

Ik krijg:
\(MV=(-\Delta M)(u)+(M+\Delta M)(V+\Delta V)=-\Delta M\cdot u+MV+\Delta MV+M\Delta V+\Delta M\Delta V\)
Dus:
\(\Delta M\cdot u=\Delta MV+ M\Delta V+\Delta M\Delta V\)
Er geldt verder:
\(u=V-w\)
Dus:
\(\Delta MV-\Delta Mw=\Delta MV+M\Delta V+\Delta M\Delta V\)
Dan hou je over:
\(-\Delta Mw= M\Delta V+\Delta M\Delta V\)
Vervolgens "divide by Δt and take limit Δt -> 0.
\(\lim_{\Delta t \to 0 }\left(\frac{-\Delta Mw}{\Delta t}\right )=\lim_{\Delta t \to 0 }\left ( \frac{ M\Delta V}{\Delta t} \right )+\lim_{\Delta t \to 0 }\left(\frac{\Delta M\Delta V}{\Delta t}\right)\)
Ik weet niet goed hoe je limieten met een Δt uitrekend zoals in dit geval.

Wel weet ik dat
\(\lim_{\Delta t \to 0 }\left(\frac{-\Delta M}{\Delta t}\right )=-\frac{dM}{dt}\)
volgens de definitie van de afgeleide, maar de termen in de verkregen formule staan op een andere manier geschreven.

De aanname wordt gemaakt dat w onafhankelijk van de tijd is:
\(\lim_{\Delta t \to 0 }\left(\frac{-\Delta Mw}{\Delta t}\right )=-w\lim_{\Delta t \to 0 }\left ( \frac{\Delta M}{\Delta t}\right )\)
Dus we krijgen volgens mij:
\(\lim_{\Delta t \to 0 }\left(\frac{-\Delta Mw}{\Delta t}\right )=-w\frac{dM}{dt}\)
Dan de volgende term:
\(\lim_{\Delta t \to 0 }\left ( \frac{M\Delta V}{\Delta t} \right )\)
De massa op t0 = M en op t1 = M + ΔM. Dit houdt dan ook in dat de term M zélf niet verandert tussen t1 en t0. (Klopt dit?)

Dan zou je krijgen:
\(\lim_{\Delta t \to 0 }\left ( \frac{ M\Delta V}{\Delta t} \right )=M\lim_{\Delta t \to 0 }\left ( \frac{\Delta V}{\Delta t} \right )=M\frac{dV}{dt}\)
Dan de laatste term:
\(\lim_{\Delta t \to 0 }\left(\frac{\Delta M\Delta V}{\Delta t}\right)\)
Hier kom ik echter niet uit.

Verder vraag ik me ook af of alles wel klopt wat ik verder heb gedaan.
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:

http://www.wetenschapsforum.nl/index.ph ... opic=59270

Gebruikersavatar
Berichten: 2.097

Re: Toename / afname en limieten

Zoals gezegd is die laatste term nul, en dan heb je wat gesteld is, namelijk
\(M\frac{dV}{dt}=-\frac{dM}{dt}w\)


Je was er zelf al bijna om te zien dat die tweede term nul is; je kreeg:
\(\lim_{\Delta t \to 0 }\left (\Delta M\right )\cdot \lim_{\Delta t \to 0 }\left (\frac{\Delta V}{\Delta t}\right )\)
Die tweede term is de afgeleide van V naar t, zoals je zelf constateerde. Maar die eerste term is 0. Als
\(\Delta t\)
naar nul gaat, wat doet
\(\Delta M\)
dan?
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower

Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

Gebruikersavatar
Berichten: 682

Re: Toename / afname en limieten

Die gaat ook naar nul, dus geldt:
\(\lim_{\Delta t \to 0 }\left (\Delta M\right )\cdot \lim_{\Delta t \to 0 }\left (\frac{\Delta V}{\Delta t}\right )=0\cdot \frac{dV}{dt}=0\)


Bedankt ;) .
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:

http://www.wetenschapsforum.nl/index.ph ... opic=59270

Gebruikersavatar
Berichten: 2.097

Re: Toename / afname en limieten

Ja, en dus niet dM.

Je kan ook een iets langere weg nemen, die dit misschien nog iets duidelijker maakt:
\(\lim_{\Delta t \to 0 }\left (\Delta M\right )=\lim_{\Delta t \to 0}\left( \frac{\Delta M}{\Delta t}\Delta t\right)=\frac{dM}{dt}\lim_{\Delta t \to 0}(\Delta t)\)
En op voorwaarde dat M een 'brave' functie is, is die afgeleide eindig. De resterende limiet is nu natuurlijk zonder twijfel gelijk aan 0.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower

Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

Reageer