Hartelijk dank voor de reacties!
Het volgende staat in een presentatie:
In deze formule is M een massa en zijn u en v snelheden, deze zijn allen afhankelijk van t.
Ik krijg:
\(MV=(-\Delta M)(u)+(M+\Delta M)(V+\Delta V)=-\Delta M\cdot u+MV+\Delta MV+M\Delta V+\Delta M\Delta V\)
Dus:
\(\Delta M\cdot u=\Delta MV+ M\Delta V+\Delta M\Delta V\)
Er geldt verder:
\(u=V-w\)
Dus:
\(\Delta MV-\Delta Mw=\Delta MV+M\Delta V+\Delta M\Delta V\)
Dan hou je over:
\(-\Delta Mw= M\Delta V+\Delta M\Delta V\)
Vervolgens "divide by Δt and take limit Δt -> 0.
\(\lim_{\Delta t \to 0 }\left(\frac{-\Delta Mw}{\Delta t}\right )=\lim_{\Delta t \to 0 }\left ( \frac{ M\Delta V}{\Delta t} \right )+\lim_{\Delta t \to 0 }\left(\frac{\Delta M\Delta V}{\Delta t}\right)\)
Ik weet niet goed hoe je limieten met een Δt uitrekend zoals in dit geval.
Wel weet ik dat
\(\lim_{\Delta t \to 0 }\left(\frac{-\Delta M}{\Delta t}\right )=-\frac{dM}{dt}\)
volgens de definitie van de afgeleide, maar de termen in de verkregen formule staan op een andere manier geschreven.
De aanname wordt gemaakt dat w onafhankelijk van de tijd is:
\(\lim_{\Delta t \to 0 }\left(\frac{-\Delta Mw}{\Delta t}\right )=-w\lim_{\Delta t \to 0 }\left ( \frac{\Delta M}{\Delta t}\right )\)
Dus we krijgen volgens mij:
\(\lim_{\Delta t \to 0 }\left(\frac{-\Delta Mw}{\Delta t}\right )=-w\frac{dM}{dt}\)
Dan de volgende term:
\(\lim_{\Delta t \to 0 }\left ( \frac{M\Delta V}{\Delta t} \right )\)
De massa op t0 = M en op t1 = M + ΔM. Dit houdt dan ook in dat de term M zélf niet verandert tussen t1 en t0. (Klopt dit?)
Dan zou je krijgen:
\(\lim_{\Delta t \to 0 }\left ( \frac{ M\Delta V}{\Delta t} \right )=M\lim_{\Delta t \to 0 }\left ( \frac{\Delta V}{\Delta t} \right )=M\frac{dV}{dt}\)
Dan de laatste term:
\(\lim_{\Delta t \to 0 }\left(\frac{\Delta M\Delta V}{\Delta t}\right)\)
Hier kom ik echter niet uit.
Verder vraag ik me ook af of alles wel klopt wat ik verder heb gedaan.