Inner product

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 19-10-'11, 17:59

Arie Bombarie

Gebruikersavatar
Berichten: 682

Inner product

Goedendag,

Waarom geldt het volgende:
\(\frac{1}{2}{({v_{2}}^{2}-v_{1}}^{2})=\frac{1}{2}(\Delta v)^{2}+\overrightarrow{v_{1}}\cdot \overrightarrow{\Delta v}\)
Als geldt dat:
\(\overrightarrow{\Delta v}=\overrightarrow{v_{2}}-\overrightarrow{v_{1}}\)
Wat ik weet is dat:
\({\Delta v}=\begin{Vmatrix}\overrightarrow{\Delta v}\end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix}\overrightarrow{v_{2}}-\overrightarrow{v_{1}}\end{Vmatrix}\)
Dus geldt:
\(\frac{1}{2}(\Delta v)^{2}+\overrightarrow{v_{1}}\cdot \overrightarrow{\Delta v}=\frac{1}{2}(\begin{Vmatrix}\overrightarrow{v_{2}}-\overrightarrow{v_{1}}\end{Vmatrix})^{2}+\overrightarrow{v_{1}}\cdot \overrightarrow{\Delta v}=\frac{1}{2}(\begin{Vmatrix}\overrightarrow{v_{2}}-\overrightarrow{v_{1}}\end{Vmatrix})\cdot (\begin{Vmatrix}\overrightarrow{v_{2}}-\overrightarrow{v_{1}}\end{Vmatrix})+\overrightarrow{v_{1}}\cdot \overrightarrow{\Delta v}\)
En ik weet dat:
\(\overrightarrow{v_{1}}\cdot \overrightarrow{\Delta v}=\begin{Vmatrix}\overrightarrow{v_{1}}\end{Vmatrix}\cdot \begin{Vmatrix}\overrightarrow{\Delta v}\end{Vmatrix}\cdot cos(\theta )\)
Maar ik zie nog niet waarom
\(\frac{1}{2}{({v_{2}}^{2}-v_{1}}^{2})=\frac{1}{2}(\Delta v)^{2}+\overrightarrow{v_{1}}\cdot \overrightarrow{\Delta v}\)
geldt.

Iemand een idee?
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:

http://www.wetenschapsforum.nl/index.ph ... opic=59270
Omhoog

Bericht 19-10-'11, 18:18

Shadeh

Berichten: 234

Re: Inner product

Schrijf eens
\( \Delta v \mbox{ als } v_2-v_1\)
in het rechterlid, werk het merkwaardig product uit en je zou aan de gelijkheid moeten komen.
Omhoog

Bericht 19-10-'11, 20:30

Arie Bombarie

Gebruikersavatar
Berichten: 682

Re: Inner product

Kan je dat wel doen?

Want volgens mij:
\({\Delta v}=\begin{Vmatrix}\overrightarrow{\Delta v}\end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix}\overrightarrow{v_{2}}-\overrightarrow{v_{1}}\end{Vmatrix}\neq \begin{Vmatrix}\overrightarrow{v_{2}}\end{Vmatrix}-\begin{Vmatrix}\overrightarrow{v_{1}}\end{Vmatrix}\)
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:

http://www.wetenschapsforum.nl/index.ph ... opic=59270
Omhoog

Bericht 19-10-'11, 20:45

Shadeh

Berichten: 234

Re: Inner product

Als geldt dat:
\(\overrightarrow{\Delta v}=\overrightarrow{v_{2}}-\overrightarrow{v_{1}}\)


Ik gebruikte enkel deze gelijkheid. Misschien heb ik het verkeerd op.
Omhoog

Bericht 19-10-'11, 21:05

Arie Bombarie

Gebruikersavatar
Berichten: 682

Re: Inner product

Die gelijkheid klopt inderdaad, maar daaruit volgt toch niet dat:
\({\Delta v}=\begin{Vmatrix}\overrightarrow{\Delta v}\end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix}\overrightarrow{v_{2}}\end{Vmatrix}-\begin{Vmatrix}\overrightarrow{v_{1}}\end{Vmatrix}\)
Want je geeft aan dat ik
\( \Delta v \mbox{ als } v_2-v_1\)
moet schrijven, maar dat geldt volgens mij niet. Dit geldt alleen in vectorvorm zover ik weet.
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:

http://www.wetenschapsforum.nl/index.ph ... opic=59270
Omhoog

Bericht 19-10-'11, 21:22

Shadeh

Berichten: 234

Re: Inner product

Idd, ik had de twee door elkaar geslaan, excuseer.

Tweede poging:
\({\Delta v}=||\overrightarrow{\Delta v}||=\sqrt{\overrightarrow{\Delta v} * \overrightarrow{\Delta v}} \)
Kan je het dan uitwerken?
Omhoog

Bericht 19-10-'11, 22:12

In physics I trust

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Inner product

Als je alles uitwerkt, bekom ik dat je bewering equivalent is met
\(v_1 \cdot v_2 = \vec{ v_1} \cdot \vec{v_2}\)
tenzij ik me heb misrekend.
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
Omhoog

Bericht 20-10-'11, 16:21

Arie Bombarie

Gebruikersavatar
Berichten: 682

Re: Inner product

Bedankt voor de reacties.

Shadeh, ik neem dat aan dat je
\(*\)
een dot product moet voorstellen?

Bij deze alle informatie die ik heb:

Afbeelding

Ik kom niet veel verder dan de haakjes uitwerken:
\(\frac{1}{2}{({v_{2}}^{2}-v_{1}}^{2})=\frac{1}{2}(\Delta v)^{2}+\overrightarrow{v_{1}}\cdot \overrightarrow{\Delta v}\)
\(\frac{1}{2}{{v_{2}}^{2}-\frac{1}{2}{v_{1}}^{2}}=\frac{1}{2}(\Delta v)^{2}+{v_{1}}^{2}\cdot \Delta v\cdot cos\theta\)
En eventueel:
\(\frac{1}{2}{{v_{2}}^{2}-\frac{1}{2}{v_{1}}^{2}}=\Delta v(\frac{1}{2}\Delta v+v_{1}cos\theta )\)
Echter dit zet niet echt zoden aan de dijk heb ik het idee.

Of door middel van:
\({\Delta v}=||\overrightarrow{\Delta v}||=\sqrt{\overrightarrow{\Delta v} \cdot \overrightarrow{\Delta v}} \)
Dan verkrijg ik
\(\frac{1}{2}{(v_{2}}^{2}-{v_{1}}^{2})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\Delta v}\cdot \overrightarrow{\Delta v})+\overrightarrow{{v_{1}}}\cdot \overrightarrow{{\Delta v}}\)
.

Als ik het eerste dot product weer uitwerk, krijg ik waar ik mee begonnen ben.

IPIT, dit zou dan neem ik aan betekenen dat het niet klopt wat op bovenstaande afbeelding staat. Toch?

Iemand die mij verder kan helpen?

Alvast bedankt!
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:

http://www.wetenschapsforum.nl/index.ph ... opic=59270
Omhoog

Bericht 20-10-'11, 16:38

In physics I trust

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Inner product

\(\frac{1}{2}{({v_{2}}^{2}-v_{1}}^{2})=\frac{1}{2}(\Delta v)^{2}+\overrightarrow{v_{1}}\cdot \overrightarrow{\Delta v}\)
En dus:
\(\frac{v_2^2}{2}-\frac{v_1^2}{2}=\frac{1}{2}(v_2-v_1)^2+v_1 \cdot (v_2-v_1) \cdot cos \theta\)
Vereenvoudigen en merkwaardig product:
\(0=-v_1 \cdot v_2 + v_1^2+ \vec{v_1} \cdot \vec{\Delta v}\)
Of nog:
\(0=-v_1 \cdot v_2 + v_1^2+ \vec{v_1} \cdot ( \vec{v_2}-\vec{v_1})\)
En vermits:
\(\vec{v_1} \cdot \vec{v_1} = v_1^2\)
Dan ook
\(v_1 \cdot v_2 = \vec{ v_1} \cdot \vec{v_2}\)
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
Omhoog

Bericht 20-10-'11, 16:56

Arie Bombarie

Gebruikersavatar
Berichten: 682

Re: Inner product

Hartelijk dank.

Je hebt - als ik het goed heb - het volgende toegepast:
\({\Delta v}=\begin{Vmatrix}\overrightarrow{\Delta v}\end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix}\overrightarrow{v_{2}}-\overrightarrow{v_{1}}\end{Vmatrix}= \begin{Vmatrix}\overrightarrow{v_{2}}\end{Vmatrix}-\begin{Vmatrix}\overrightarrow{v_{1}}\end{Vmatrix}={v_{2}-{v_{1}\)
maar volgens mij geldt:
\({\Delta v}=\begin{Vmatrix}\overrightarrow{\Delta v}\end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix}\overrightarrow{v_{2}}-\overrightarrow{v_{1}}\end{Vmatrix}\neq \begin{Vmatrix}\overrightarrow{v_{2}}\end{Vmatrix}-\begin{Vmatrix}\overrightarrow{v_{1}}\end{Vmatrix}\)
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:

http://www.wetenschapsforum.nl/index.ph ... opic=59270
Omhoog

Bericht 20-10-'11, 17:09

In physics I trust

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Inner product

Je hebt gelijk. Dat deed ik inderdaad, vandaar mijn vreemde resultaat.

Dan moet je de cosinusregel invullen:
\(\frac{\Delta v^2}{2}= \frac{v_1^2}{2} + \frac{v_2^2}{2} - v_1 \cdot v_2 cos \theta\)
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
Omhoog

Bericht 20-10-'11, 18:18

Shadeh

Berichten: 234

Re: Inner product

Ik heb het wel verkeerd op. Ik bedoelde inderdaad het dot product. Excuses.
Omhoog

Bericht 20-10-'11, 21:45

Axioma91

Berichten: 264

Re: Inner product

Arie Bombarie schreef:maar volgens mij geldt:
\({\Delta v}=\begin{Vmatrix}\overrightarrow{\Delta v}\end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix}\overrightarrow{v_{2}}-\overrightarrow{v_{1}}\end{Vmatrix}\neq \begin{Vmatrix}\overrightarrow{v_{2}}\end{Vmatrix}-\begin{Vmatrix}\overrightarrow{v_{1}}\end{Vmatrix}\)
Dat is niet altijd waar. Neem bijvoorbeeld v1 = i en v2 = i, dan |1-1| = |1|-|1|... Hier geldt de gelijkheid. Je zoekt denk ik naar de omgekeerde driehoeksongelijkheid die zegt:
\(||x|-|y|| \leq |x-y|\)
waaruit ook volgt
\(|x|-|y| \leq |x-y|\)
maar dat terzijde.
Omhoog

Bericht 21-10-'11, 14:21

Arie Bombarie

Gebruikersavatar
Berichten: 682

Re: Inner product

Bedankt voor de antwoorden.

Axioma91, ik ging van het algemene geval uit (waarbij de hoek tussen v1 en v2 dus niet per se gelijk is aan 0 of 180 graden). Mijn notatie had beter gekund.

IPIT,

Ondanks dat ik momenteel vrijwel dagelijks de cosinusregel gebruik, was dit nog niet in mij opgekomen.

Daar gaat ie dan:
\(\frac{1}{2}{({v_{2}}^{2}-v_{1}}^{2})=\frac{1}{2}(\Delta v)^{2}+\overrightarrow{v_{1}}\cdot \overrightarrow{\Delta v}\)
\(\frac{{v_{2}}^{2}}{2}-\frac{{v_{1}}^{2}}{2}=\frac{{v_{1}}^{2}}{2}+\frac{{v_{2}}^{2}}{2}-v_{1}v_{2}cos\theta +\overrightarrow{v_{1}}\cdot \overrightarrow{\Delta v}\)
\(-{v_{1}}^{2}=-v_{1}v_{2}cos\theta +\overrightarrow{v_{1}}\cdot \overrightarrow{\Delta v}\)
\(-{v_{1}}^{2}=-\overrightarrow{v_{1}}\cdot \overrightarrow{v_{2}} +\overrightarrow{v_{1}}\cdot \overrightarrow{\Delta v}\)
\(-{v_{1}}^{2}=-\overrightarrow{v_{1}}\cdot (\overrightarrow{\Delta v}+\overrightarrow{v_{1}}) +\overrightarrow{v_{1}}\cdot \overrightarrow{\Delta v}\)
\(-{v_{1}}^{2}=-\overrightarrow{{v_{1}}}\cdot \overrightarrow{\Delta v}-\overrightarrow{{v_{1}}}\cdot \overrightarrow{{v_{1}}}+\overrightarrow{{v_{1}}}\cdot \overrightarrow{\Delta v}=-{v_{1}}^{2}\)
Het heeft even geduurd, maar dan heb je ook wat ;) .

Nogmaals bedankt!
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:

http://www.wetenschapsforum.nl/index.ph ... opic=59270
Omhoog

Bericht 21-10-'11, 14:53

ZVdP

Gebruikersavatar
Berichten: 2.097

Re: Inner product

Je maakt wel een kleine omweg door het scalair product om te zetten naar die cosinus, om die cosinus later weer om te zetten naar een scalair product.
\(0.5(\Delta v)^2+\overrightarrow{v_1}\cdot\overrightarrow{\Delta v}=0.5\overrightarrow{\Delta v}\cdot\overrightarrow{\Delta v}+\overrightarrow{v_1}\cdot\overrightarrow{\Delta v}=0.5v_2^2+0.5v_1^2-\overrightarrow{v_1}\cdot\overrightarrow{v_2}+\overrightarrow{v_1}\cdot\overrightarrow{v_2}-v_1^2=0.5v_2^2-0.5v_1^2\)
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower

Conserve energy: Commute with a Hamiltonian
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”