Differentiaalvergelijking dy/dt = 4y(t) - y(t)^3
-
- Berichten: 7
Differentiaalvergelijking dy/dt = 4y(t) - y(t)^3
Ik probeer de differentiaalvergelijking dy/dt = 4y(t) - y(t)^3 op te lossen, maar het lukt me niet.
Ik ging als volgt te werk:
dy/dt = 4y(t) - y(t)^3
∫dy/4y-y^3 = ∫ 1 dt = t + c
∫dy/y(2-y)(2+y) = t + c
ben ik op de goede weg als ik denk dat ik deze breuk nu moet uitsplitsen? zo ja, hoe?
hopelijk kan iemand me helpen
Ik ging als volgt te werk:
dy/dt = 4y(t) - y(t)^3
∫dy/4y-y^3 = ∫ 1 dt = t + c
∫dy/y(2-y)(2+y) = t + c
ben ik op de goede weg als ik denk dat ik deze breuk nu moet uitsplitsen? zo ja, hoe?
hopelijk kan iemand me helpen
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Differentiaalvergelijking dy/dt = 4y(t) - y(t)^3
Ga verder:
1/(y(y-2)(y+2))=a/y+b/(y-2)+c/(y+2)
Los a. b en c op ...
1/(y(y-2)(y+2))=a/y+b/(y-2)+c/(y+2)
Los a. b en c op ...
-
- Berichten: 7
Re: Differentiaalvergelijking dy/dt = 4y(t) - y(t)^3
Ok, ik ben dus op de goede weg..
1/(y(y-2)(y+2))=a/y+b/(y-2)+c/(y+2)
1/(y(y-2)(y+2))=a(y-2)(y+2)/y(y-2)(y+2) + by(y+2)/y(y-2)(y+2) + cy(2-y)/y(y-2)(y+2)
oftwel
a(y-2)(y+2) + by(y+2) + cy(y-2) = 1
4a-ay^2 + 2by+by^2 + 2cy-cy^2 = 1
(b-a-c)y^2 + (2b+2c)y + 4a = 0y^2 + 0y + 1
hieruit krijg ik het stelsel
(1) b-a-c = 0
(2) 2b+2c = 0
(3) 4a = 1
(4) a+b+c=1
Uit (1), (3) en (4) haal ik a=1/4 b=1/2 en c=1/4 maar dit komt niet overeen met (2)
Zit er een fout in mijn stelsel? Of is dit stelsel wel gewoon op te lossen?
1/(y(y-2)(y+2))=a/y+b/(y-2)+c/(y+2)
1/(y(y-2)(y+2))=a(y-2)(y+2)/y(y-2)(y+2) + by(y+2)/y(y-2)(y+2) + cy(2-y)/y(y-2)(y+2)
oftwel
a(y-2)(y+2) + by(y+2) + cy(y-2) = 1
4a-ay^2 + 2by+by^2 + 2cy-cy^2 = 1
(b-a-c)y^2 + (2b+2c)y + 4a = 0y^2 + 0y + 1
hieruit krijg ik het stelsel
(1) b-a-c = 0
(2) 2b+2c = 0
(3) 4a = 1
(4) a+b+c=1
Uit (1), (3) en (4) haal ik a=1/4 b=1/2 en c=1/4 maar dit komt niet overeen met (2)
Zit er een fout in mijn stelsel? Of is dit stelsel wel gewoon op te lossen?
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Differentiaalvergelijking dy/dt = 4y(t) - y(t)^3
Dis is goed, maar heb je niet goed uitgewerkt ...a(y-2)(y+2) + by(y+2) + cy(y-2) = 1
Bv (a+b+c)y²+...
-
- Berichten: 7
Re: Differentiaalvergelijking dy/dt = 4y(t) - y(t)^3
oh wacht volgens mij klopt er iets niet.
in mijn 1e post kwam ik uit op
dan kom ik namelijk wel uit op
in mijn 1e post kwam ik uit op
in jouw post gaf je aan:∫dy/y(2-y)(2+y) = t + c
volgens mij moet dit 1/(y(2-y)(2+y))= a/y+b(2-y)+c(2+y) zijn? (2-y ipv y-2)Ga verder:
1/(y(y-2)(y+2))=a/y+b/(y-2)+c/(y+2)
dan kom ik namelijk wel uit op
a(2-y)(2+y) + by(2+y) + cy(2-y) = 1
4a-ay^2 + 2by+by^2 + 2cy-cy^2 = 1
(b-a-c)y^2 + (2b+2c)y + 4a = 0y^2 + 0y + 1
hieruit krijg ik het stelsel
(1) b-a-c = 0
(2) 2b+2c = 0
(3) 4a = 1
(4) a+b+c=1
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Differentiaalvergelijking dy/dt = 4y(t) - y(t)^3
Je hebt gelijk wat betreft die noemer y(2-y)(2+y) ...
dan klopt:
dan klopt:
Wat geeft dit voor opl?(1) b-a-c = 0
(2) 2b+2c = 0
(3) 4a = 1
-
- Berichten: 7
Re: Differentiaalvergelijking dy/dt = 4y(t) - y(t)^3
daar krijg ik uit
edit: oh daar zit dus mijn fout. a+b+c=1 geldt niet, dus het antwoord van de breuksplitsing wordt
(1/4)/y + (1/8)/(2-y) + (-1/8)/(2+y)
en vervolgens kan ik dit gewoon integreren.
maar a+b+c=1 geldt toch ook?(2) b = -c
(3) a = 1/4
invullen in (1) geeft
-c-1/4-c=0
-2c=1/4
c=-1/8
dus
a = 1/4
b = 1/8
c = -1/8
edit: oh daar zit dus mijn fout. a+b+c=1 geldt niet, dus het antwoord van de breuksplitsing wordt
(1/4)/y + (1/8)/(2-y) + (-1/8)/(2+y)
en vervolgens kan ik dit gewoon integreren.
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Differentiaalvergelijking dy/dt = 4y(t) - y(t)^3
Ik heb niet gevraag hoe je hieraan komt, maar als dat ook zou moeten gelden, zou het stelsel strijdig worden ...(4) a+b+c=1
Nu integreren ...
Je kan sneller aan a, b en c komen. Nieuwsgierig?