Continuiteit van de tangensfunctie

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer

Bericht 06-11-'11, 11:56

Siron

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Continuiteit van de tangensfunctie

Ik probeer een bewijs te geven van de continuiteit van de tangensfunctie voor elk punt
\(a\in D\)
(met D=domein) met de
\(\epsilon-\delta\)
definitie.

Te bewijzen:
\(\forall \epsilon>0,\exists \delta>0, \forall x\in D: |x-a|<\delta \Rightarrow |\tan(x)-\tan(a)|<\epsilon\)
Bewijs:
\( |\tan(x)-\tan(a)|=\left|\frac{\sin(x)}{\cos(x)}-\frac{\sin(a)}{\cos(a)}\right|=\left|\frac{\sin(x)\cos(a)-\sin(a)\cos(x)}{\cos(x)\cos(a)}\right|\)
Door gebruik te maken van de formules van simpson kan ik de teller en noemer schrijven als (met de 2 al weggedeeld):
\(\left|\frac{\sin(x+a)+\sin(x-a)-\sin(a+x)-\sin(a-x)}{\cos(a+x)+\cos(a-x)}\right|\)
\(=\left|\frac{2\sin(x-a)}{\cos(a+x)+cos(a-x)}\right|\)
\(=\frac{2|\sin(x-a)|}{|\cos(a+x)+\cos(a-x)|}<\frac{2|x-a|}{|\cos(a+x)+\cos(a-x)|}<\frac{2\delta}{|\cos(a+x)+\cos(a-x)|}\)
Nu zit ik alleen nog met die noemer waar ik niet vanaf geraak.

Hoe kan ik dit nu verder aanpakken?

Bvd.
Omhoog

Bericht 06-11-'11, 12:02

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Continuiteit van de tangensfunctie

Verplaatst naar Analyse.

Wel belangrijk, is dan wat je domein is :P . Beschouw je heel ;) of enkel een deel?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 06-11-'11, 12:08

Siron

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Continuiteit van de tangensfunctie

Drieske schreef:Verplaatst naar Analyse.

Wel belangrijk, is dan wat je domein is ;) . Beschouw je heel :P of enkel een deel?
Het domein is :P \
\(\{\frac{\pi}{2}+k\pi\}\)
Ik ben alleen nog aan het denken hoe ik dit gegeven hier moet gebruiken :P .
Omhoog

Bericht 06-11-'11, 12:14

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Continuiteit van de tangensfunctie

Weet je dat fg continu is als f en g continu is?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 06-11-'11, 12:21

Siron

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Continuiteit van de tangensfunctie

Weet je dat fg continu is als f en g continu is?


Ja, die stelling heb ik gezien.
Omhoog

Bericht 06-11-'11, 12:21

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Continuiteit van de tangensfunctie

Dan is je probleem te herleiden tot: bewijs dat sec(x) continu is op je domein.

Ik heb overigens nog eens naar jouw bewijs gekeken. Je bent er quasi. Ik wou je eerder een 'algemenere', 'makkelijkere' aanpak tonen. Je geeft maar aan op welke piste je liefst verder gaat.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 06-11-'11, 13:04

Siron

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Continuiteit van de tangensfunctie

Drieske schreef:Dan is je probleem te herleiden tot: bewijs dat sec(x) continu is op je domein.

Ik heb overigens nog eens naar jouw bewijs gekeken. Je bent er quasi. Ik wou je eerder een 'algemenere', 'makkelijkere' aanpak tonen. Je geeft maar aan op welke piste je liefst verder gaat.
Hoe gemakkelijker het kan, hoe beter ;) . Als je even met mijn bewijs zou willen verder gaan dan ben ik helemaal mee met die redenering en kan ik erna op de andere ("makkelijkere") over gaan.

Kan ik dan zeggen dat, vermits de sinus-en cosinusfuncties continu zijn op hun domein en de tangens gedefinieerd als als:
\(\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\)
kan ik zeggen dat de tangensfunctie ook continu is, immers als f en g continu zijn in a dan is f/g dat ook (met in dit geval alle waarden uitsluiten waarvoor
\(\cos(a)=0\)
).

Om de continuiteit van de secansfunctie kort te bewijzen zou ik uitgaan van een stelling die zegt dat als f:D->R continu is dan is 1/f ook een continue functie. Neem in dit geval f als de cosinusfunctie.
Omhoog

Bericht 06-11-'11, 13:29

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Continuiteit van de tangensfunctie

Als je die stelling (van f/g) hebt, ben je er inderdaad heel rap ;) . Dan is die secans zelfs overbodig.

In jouw bewijs dan. Je zit nu bij:
\(...<\frac{2\delta}{|\cos(a+x)+\cos(a-x)|}\)
. En je zou dit nu willen 'uitbreiden' tot ...< :P . Enig idee hoe je dit zou kunnen doen? Bedenk hierbij dat je enkel op :P speling hebt.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 06-11-'11, 14:23

Siron

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Continuiteit van de tangensfunctie

Drieske schreef:Als je die stelling (van f/g) hebt, ben je er inderdaad heel rap ;) . Dan is die secans zelfs overbodig.

In jouw bewijs dan. Je zit nu bij:
\(...<\frac{2\delta}{|\cos(a+x)+\cos(a-x)|}\)
. En je zou dit nu willen 'uitbreiden' tot ...< :P . Enig idee hoe je dit zou kunnen doen? Bedenk hierbij dat je enkel op :P speling hebt.
Ik was aan het denken om de noemer te schrijven als:
\(|\cos(a+x)+\cos(a-x)|=|\cos(a)\cos(x)-\sin(a)\sin(x)+\cos(a)\cos(x)+\sin(a)\sin(x)|=|2\cos(a)\cos(x)|\)
waardoor ik eigenlijk terug bij het begin kom, maar dit lijkt me misschien handiger om mee te werken.

Stel ik zeg bijvoorbeeld, kies
\(|x-a|<1 \Leftrightarrow -1<x-a<1 \Leftrightarrow a-1<x<a+1\)
En dus krijg ik dat:
\(\frac{2|x-a|}{2|\cos(a)\cos(a-1)|}<\epsilon \Rightarrow |x-a|<\epsilon(|\cos(a)\cos(a-1)|)\)
Om het bewijs te eindigen, kies
\(\delta=min\{1,\epsilon(|\cos(a)\cos(a-1)|)\}\)
Omhoog

Bericht 06-11-'11, 14:25

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Continuiteit van de tangensfunctie

Je zit in de buurt, maar je maakt het complexer dan nodig... Waarom al die tussenberekeningen etc?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 06-11-'11, 14:34

Siron

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Continuiteit van de tangensfunctie

Je zit in de buurt, maar je maakt het complexer dan nodig... Waarom al die tussenberekeningen etc?
Ja, je hebt gelijk. Het ziet er vrij chaotisch uit. Nu, ik zit dus met
\(...<\frac{2\delta}{2|\cos(a)\cos(x)|}<\epsilon\)
Ik moet dus nog iets zien te doen met die
\(\cos(x)\)
, ik heb iets bedacht als:
\(...<\frac{\delta}{|\cos(a)\cos(x)|}\leq \frac{\delta}{|\cos(a)|}<\epsilon\)
(want
\(|\cos(x)|\leq 1\)
)

En kies
\(\delta \leq \epsilon |\cos(a)|\)
Zoiets?
Omhoog

Bericht 06-11-'11, 14:41

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Continuiteit van de tangensfunctie

Siron schreef:
\(...<\frac{\delta}{|\cos(a)\cos(x)|}\leq \frac{\delta}{|\cos(a)|}<\epsilon\)
(want
\(|\cos(x)|\leq 1\)
)
Deze stap kan toch nooit? cos(x) < 1, impliceert dat 1/cos(x) > 1.

Met het vorige zat je wel redelijk in de buurt hoor. Alleen zeg je het belangrijkste niet: waarom zou (a-1) < x, impliceren dat cos(a-1) < cos(x)? Want dat gebruik je, toch? Als je dat kunt verantwoorden, ben je er ;) .
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 06-11-'11, 14:55

Siron

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Continuiteit van de tangensfunctie

Drieske schreef:Deze stap kan toch nooit? cos(x) < 1, impliceert dat 1/cos(x) > 1.

Met het vorige zat je wel redelijk in de buurt hoor. Alleen zeg je het belangrijkste niet: waarom zou (a-1) < x, impliceren dat cos(a-1) < cos(x)? Want dat gebruik je, toch? Als je dat kunt verantwoorden, ben je er ;) .
Hangt dat van het gekozen interval af? Immers is de cosinus monotoon dalend op
\(\left[0,\pi\right]\)
.
Omhoog

Bericht 06-11-'11, 14:58

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Continuiteit van de tangensfunctie

Je krijgt het inderdaad niet voor niets. Maar je bent er wel bijna. Je moet inderdaad je delta als een minimum kiezen en zo kom je er. Kijk nog eens rustig of je ziet hoe/wat.

PS: ik denk dat je ondertussen ook wel ziet waarom het gebruik van je gekende stellingen nuttig is ;) ?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Analyse en Calculus”