Dimensie van isomorfe vectorruimten

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer

Bericht 16-11-'11, 22:47

Siron

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Dimensie van isomorfe vectorruimten

In een bewijs kwam ik het volgende tegen:

Twee isomorfe vectorruimten hebben dezelfde dimensie.

Ik heb echter geen idee hoe dit te bewijzen. Iemand een hint?
Omhoog

Bericht 16-11-'11, 22:57

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Dimensie van isomorfe vectorruimten

Hoe kunnen ze anders isomorf zijn?
Omhoog

Bericht 16-11-'11, 23:27

kee

Berichten: 400

Re: Dimensie van isomorfe vectorruimten

Ben je hier iets mee?

http://en.wikipedia.org/wiki/Rank–nullity_theorem
Omhoog

Bericht 17-11-'11, 00:34

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Dimensie van isomorfe vectorruimten

Hoe kunnen ze anders isomorf zijn?
Het is niet omdat iets evident waar is, dat er geen bewijs aan vast hangt.

Je hebt twee pijlen te bewijzen. Stel dat ze van gelijke dimensie zijn. Kun je dan een isomorfisme 'verzinnen' dat werkt?

Verplaatst naar Lineaire Algebra.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 17-11-'11, 10:32

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Dimensie van isomorfe vectorruimten

Drieske schreef:Het is niet omdat iets evident waar is, dat er geen bewijs aan vast hangt.

Je hebt twee pijlen te bewijzen. Stel dat ze van gelijke dimensie zijn. Kun je dan een isomorfisme 'verzinnen' dat werkt?

Verplaatst naar Lineaire Algebra.
Het is niet omdat iets evident waar is, dat er geen bewijs aan vast hangt.


Dat werd door de TS niet gevraagd ...
Omhoog

Bericht 17-11-'11, 13:08

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Dimensie van isomorfe vectorruimten

Je kan bv. ook tonen dat een isomorfisme van V naar W een basis van V steeds omzet in een basis van W (dus lin. onafh. in V, wordt afgebeeld op lin. onafh. in W en een voortbrengend stel in V wordt afgebeeld op een voortbrengend stel in W). Het aantal elementen van een (en dus van 'elke') basis verandert niet, de dimensie dus ook niet.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 17-11-'11, 14:41

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Dimensie van isomorfe vectorruimten

Dat werd door de TS niet gevraagd ...
Je bedoelt dat TS enkel naar één richting vroeg (die waarvoor TD een schets heeft gegeven)? Dat klopt inderdaad ;) . Het leek me gewoon nuttig om beiden in te zien. Niet als bezigheidstherapie maar omdat het vaak helpt voor het inzicht te scherpen.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 17-11-'11, 22:39

Siron

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Dimensie van isomorfe vectorruimten

Ik wil het op de manier van TD en Drieske allebei wel eens proberen.

Twee beweringen te bewijzen:

Als V en W isomorfe vectorruimten zijn dan hebben ze dezelfde dimensie. (1)

Als V en W dezelfde dimensie hebben dan zijn ze isomorf. (2)

Bewering (2)

Als V en W dezelfde dimensie hebben d.w.z ze evenveel basisvectoren hebben. Nu moet ik dus een lineaire afbeelding
\(f: V \to W\)
die bijectief is zoeken. Stel dat
\(\{a_1, a_2, ..., a_n\}\)
een basis is voor V en
\(\{b_1,b_2,...,b_n\}\)
een basis is voor W. Moet ik dan nu een lineaire afbeelding constueren waarbij elke basisvector uit W een origineel heeft in de basis van V? Of niet? Hoe pak ik dit het beste aan?
Omhoog

Bericht 17-11-'11, 22:45

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Dimensie van isomorfe vectorruimten

Siron schreef:Bewering (2)

Als V en W dezelfde dimensie hebben d.w.z ze evenveel basisvectoren hebben. Nu moet ik dus een lineaire afbeelding
\(f: V \to W\)
die bijectief is zoeken. Stel dat
\(\{a_1, a_2, ..., a_n\}\)
een basis is voor V en
\(\{b_1,b_2,...,b_n\}\)
een basis is voor W. Moet ik dan nu een lineaire afbeelding constueren waarbij elke basisvector uit W een origineel heeft in de basis van V? Of niet? Hoe pak ik dit het beste aan?
Ben je het ermee eens dat het volstaat om te bewijzen dat je een isomorfisme van V naar
\(\rr^n\)
kunt construeren? En idem voor W uiteraard.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 17-11-'11, 22:58

Siron

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Dimensie van isomorfe vectorruimten

Ben je het ermee eens dat het volstaat om te bewijzen dat je een isomorfisme van V naar
\(\rr^n\)
kunt construeren? En idem voor W uiteraard.


Waarom^de keuze
\(\rr^n\)
? (dit doet me licht denken aan de kanonieke basis, of moeten we daar niet mee werken?). Ik zie niet direct hoe ik met deze gegevens verder ga, nog een hint zou welkom zijn :) .
Omhoog

Bericht 17-11-'11, 23:04

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Dimensie van isomorfe vectorruimten

Tja,
\(\rr^n\)
moet niet hoor. Het kan ook daar zonder (liever rechtstreeks? Zeg het dan nu, zou ik zeggen :) ). Het is gewoon een makkelijke afbeelding. Een hint, zonder verklappen, moeilijk, maar een poging: op wat kun je
\(\lambda_1 a_1 + \cdots + \lambda_n a_n\)
afbeelden in
\(\rr^n\)
? Deze hint hier (hoe vaag ook), geldt btw ook mocht je toch verderwillen met de andere afbeelding.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 20-11-'11, 16:52

Siron

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Dimensie van isomorfe vectorruimten

Tja,
\(\rr^n\)
moet niet hoor. Het kan ook daar zonder (liever rechtstreeks? Zeg het dan nu, zou ik zeggen :) ). Het is gewoon een makkelijke afbeelding. Een hint, zonder verklappen, moeilijk, maar een poging: op wat kun je
\(\lambda_1 a_1 + \cdots + \lambda_n a_n\)
afbeelden in
\(\rr^n\)
? Deze hint hier (hoe vaag ook), geldt btw ook mocht je toch verderwillen met de andere afbeelding.


Ik geraak er nog steeds niet uit, kan je me nog verder helpen?
Omhoog

Bericht 20-11-'11, 16:57

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Dimensie van isomorfe vectorruimten

Beschouw volgende afbeelding:
\(\lambda_1 a_1 + \cdots + \lambda_n a_n \mapsto (\lambda_1, \cdots, \lambda_n)\)
. Normaal geraak je er nu wel?

Als vraag aan jou: welke afbeelding, hierop geïnspireerd zou je kunnen gebruiken om rechtstreeks van V naar W te gaan?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 21-11-'11, 19:52

Siron

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Dimensie van isomorfe vectorruimten

Drieske schreef:Beschouw volgende afbeelding:
\(\lambda_1 a_1 + \cdots + \lambda_n a_n \mapsto (\lambda_1, \cdots, \lambda_n)\)
. Normaal geraak je er nu wel?

Als vraag aan jou: welke afbeelding, hierop geïnspireerd zou je kunnen gebruiken om rechtstreeks van V naar W te gaan?
Ik denk dat ik nu beter kan volgen welke lineaire afbeelding je hier bedoelt (vandaag een les gehad over matrixvoorstelling van lineaire afbeelding e.d)

Ik had gezegd, zij
\(\{a_1,...,a_n\}\)
een basis voor V en zij
\(\{b_1,...,b_m\}\)
een basis voor W.

(en
\(f: V \to W)\)
Definieer:
\(\mbox{co_1}: V \to K^n: v=\lambda_1a_1+...+\lambda_na_n \mapsto \mbox{co_1}(v)= (\lambda_1,...,\lambda_n)\)
Definieer:
\(\mbox{co_2}: W \to K^m: w=\gamma_1b_1+....\gamma_mb_m \mapsto \mbox{co_2}(w)= (\gamma_1,....\gamma_m)\)
Zou het nu handig zijn om
\(f\)
te schrijven als een samenstelling van de functies
\(\mbox{co_1,co_2}\)
?
Omhoog

Bericht 21-11-'11, 20:22

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Dimensie van isomorfe vectorruimten

Een beetje nodeloos ingewikkeld vind ik, maar voor daar verder op in te gaan: geraak je er met die afbeelding naar je veld K (tot de juiste macht)?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog
Reageer

Terug naar “(Lineaire) Algebra en Meetkunde”