Dagenlang probeer ik de volgende opgave te doen, maar ik kom niet verder.
Gegeven:
Zij
\(X_{1}, ..., X_{n}\)
een rij onafhankelijke stoch. variabelen met \(p_{\lambda}(x) = \frac{\lambda}{2\sqrt{x}}e^{-\lambda\sqrt{x}}\)
voor \(x \geq 0\)
met \(\lambda > 0\)
een onbekende parameter.Gevraagd:
Bepaal de meest aannemelijke schatter (max. likelihood estimator) voor
\(\lambda\)
.Nou, allereerst heb ik de log-likelihood-functie opgesteld:
\(\log L(\lambda, x) = \sum\limits_{i=1}^n \log(\lambda)-\log(2\sqrt{x_{i}})-\lambda\sqrt{x_{i}}\)
Dit differentiëren naar \(\lambda\)
:\(\frac{\partial\log L(\lambda, x)}{\partial\lambda} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{\lambda}-\sqrt{x_{i}}\)
Om de meest aannemelijke schatter te vinden, moet die laatste formule gelijkgesteld worden aan 0. Echter geeft dit geen expliciete oplossing, want er staat een wortel in de som. Anders had ik natuurlijk iets met \(\overline{x}\)
(x-gemiddeld) gedaan.Nu kan het dat er een rand-maximum is, maar er is geen indicatorfunctie die van
\(\lambda\)
afhangt. \(x_{i}\)
kan namelijk alle waardes gelijk aan of groter dan 0 aannemen, ongeacht wat de waarde van de parameter is.Als ik
\(p_{\lambda}(x)\)
even laat tekenen als grafiekje met verschillende waardes voor \(\lambda\)
:http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+...C+x+from+0+to+1
Kun je zien dat er inderdaad een randmaximum is, maar die schiet naar oneindig.
Maar goed, ik zit dus vast.
Alvast bedankt!
- Fruitschaal.
