Integralen

Moderators: dirkwb, Xilvo

Berichten: 4.246

Integralen

Ik zit vast bij de volgende integralen:

Los op via handige substitutie:
\( \int_0^{\infty} \frac{x^{29}}{(5x^2+49)^{17} }\ \mbox{d}x \)
en een waarvan ik niet weet wat je moet doen:
\( \int_0^{2 \pi} \frac{x\sin(x)}{1+ \sin^2(x)}\ \mbox{d}x \)
Kan iemand me op weg helpen?
Quitters never win and winners never quit.

Berichten: 7.068

Re: Integralen

Voor de tweede, bepaal:
\( \int \frac{\sin(x)}{1+ \sin^2(x)}\ \mbox{d}x \)
Dan kan je daarna de partieel integreren toepassen.

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: Integralen

De eerste kan alvast zo (maar het wordt er niet makkelijker op:) ):

Stel
\(f(a) = \int_0^\infty \frac{x}{{\left( a\,{x}^{2}+5\,{x}^{2}+49\right) }^{3}} \mbox{d}x\)
Dan is
\( \int_0^{\infty} \frac{x^{29}}{(5x^2+49)^{17} }\ \mbox{d}x \)
=
\(\frac{1}{10461394944000}\left. \frac{\mbox{d}^{14}}{\mbox{d} a^{14}} f(a) \right |_{a=0}\)
Uitrekenen integraal
Verborgen inhoud
Ik deed dit schaamteloos met de computer. Met de hand is het in ieder geval te doen lijkt me
geeft
\(f(a) = \frac{1}{9604\,a+48020}\)
We krijgen dan uiteindelijk
\(\frac{1}{35170898437500000}\)
Maar ik gok dat dit verre van de bedoeling zal zijn :)
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Berichten: 4.246

Re: Integralen

Het goede antwoord is van de eerste:
\( \frac{14!}{2 \cdot 49^2 \cdot 5^{15} \cdot 16!} \)
Ik weet niet hoe ze eraan komen.

Bij de tweede kom ik via Evilbro's manier op termen in de trant van log(cos(x) -2), maar hoe je die integreert zie ik niet...
Quitters never win and winners never quit.

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: Integralen

Dan is mijn oplossing juist. Handmatig rekenen kan vermoedelijk deze factoren geven. De integraal (f(a) dan) is uiteraard simpel te doen met substitutie.
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Berichten: 7.068

Re: Integralen

Bij de tweede kom ik via Evilbro's manier op termen in de trant van log(cos(x) -2), maar hoe je die integreert zie ik niet...
Je kan op basis van symmetrie zien dat de integraal met de log-termen gelijk zal zijn aan 0. (periode = 2*pi, g(x) = -g(x+pi)).

Berichten: 4.246

Re: Integralen

Heel scherp Evilbro!

Ikz it ook bij deze vast:
\( \int_0^{2 \pi} \frac{1}{1+e^{\cos(x)}}\ \mbox{d}x \)
,

Ik zit te puzzelen met het uitvoeren van twee reeksontwikkelingen (MR en de exponentieel) en dan integraal en reeksen verwisselen maar dan is de cosinus nul voor een even natuurlijke getallen, is dit de juiste weg?
Quitters never win and winners never quit.

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: Integralen

Hint: De integraal is ook gelijk aan:
\(\int_{-\pi }^{\pi }\frac{{e}^{\mathrm{cos}\left( y\right) }}{{e}^{\mathrm{cos}\left( y\right) }+1}\mbox{d}y\)
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Berichten: 4.246

Re: Integralen

Met y =x-pi volgt er:
\( I= \int_0^{2 \pi} \frac{1}{1+e^{\cos(x)}}\ \mbox{d}x = \int_{-\pi }^{\pi }\frac{{e}^{\mathrm{cos}\left( y\right) }}{{e}^{\mathrm{cos}\left( y\right) }+1}\mbox{d}y = \int_{- \pi}^{\pi} 1\ \mbox{d}x -\int_{- \pi}^{\pi} \frac{1}{1+e^{\cos(y)}}\ \mbox{d}x = 2 \pi -I\ \longrightarrow I = \pi\)
Is dit goed?
Quitters never win and winners never quit.

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: Integralen

dirkwb schreef:Met y =x-pi volgt er:
\( I= \int_0^{2 \pi} \frac{1}{1+e^{\cos(x)}}\ \mbox{d}x = \int_{-\pi }^{\pi }\frac{{e}^{\mathrm{cos}\left( y\right) }}{{e}^{\mathrm{cos}\left( y\right) }+1}\mbox{d}y = \int_{- \pi}^{\pi} 1\ \mbox{d}x -\int_{- \pi}^{\pi} \frac{1}{1+e^{\cos(y)}}\ \mbox{d}x = 2 \pi -I\ \longrightarrow I = \pi\)
Is dit goed?
ja. Dat had ik ook in gedachte.
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Berichten: 4.246

Re: Integralen

Ik zit ook vast bij deze:
\( \int_0^{\infty} \frac{ \ln(2x)}{x^2+9}\ \mbox{d}x \)
Ik vermoed dat er 2x moet staan en niet een kwadraat van de ln, maar ik weet het niet zeker. Ik dacht aan een subtitutie van u=3*x^1/2 maar kom dan vast te zitten. Ben ik op de goede weg?

Ik zie net dat ik die ln kan opsplitsen maar moet je het dan per sé via een contourintegraal oplossen?
Quitters never win and winners never quit.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 4.088

Re: Integralen

Ik heb geen idee hoe je die moet oplossen. Wanneer ik hem in Wolfram Alpha intyp, zie ik dat er ingewikkelde functies voor nodig zijn om het te beschrijven (polylogaritmes). Weet je zeker dat deze formule klopt? Als je een antwoord hebt, kun je hem hiermee vergelijken:
Verborgen inhoud
\(\frac{1}{6} \pi \log (6)\)

Berichten: 4.246

Re: Integralen

Ik heb het gevonden: het moet met de methode beschreven in het integreren voor gevorderden topic en dan komt er
\( \frac{1}{6} \pi \ln(6) \)
uit. De ln moet gesplitst worden en dan gebruikmakend van u=3*x^1/2 kom je er.
Quitters never win and winners never quit.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Integralen

Uit interesse: kun je een link naar de post geven? Want dat topic is al redelijk lang :) .
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 4.246

Re: Integralen

Ik zit weer vast bij de volgende:
\( \int_{-\infty}^{\infty} \sin( x^2) + \cos( x^2)\ \mbox{d}x \)
Het lijkt erop dat hier nul uitkomt maar hoe je dat bewijst zie ik niet.
Quitters never win and winners never quit.

Reageer