N-de partieelsom aan de hand van splitsen in partieelbreuken
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 57
N-de partieelsom aan de hand van splitsen in partieelbreuken
Sorry dat dit mijn tweede topic al is op een uur tijd, maar ik heb hier echt moeite mee...
De vraag is: bepaal de partieelsom Sn en de reekssom S horend bij de volgende functie. Als de algemene term rationaal i, dan is splitsing in partieelbreuken aangewezen.
tn = 1 / (n(n+1)
SiPB geeft :
A/n + B / (n+1) = tn
A(n+1) + Bn = 1
An + A + Bn = 1
n(A+B) + A = 1
A+B = 0 met A = 1 dus B =-1
tn = 1 / n - 1/(n+1)
Maar nu zit ik dus vast...
De vraag is: bepaal de partieelsom Sn en de reekssom S horend bij de volgende functie. Als de algemene term rationaal i, dan is splitsing in partieelbreuken aangewezen.
tn = 1 / (n(n+1)
SiPB geeft :
A/n + B / (n+1) = tn
A(n+1) + Bn = 1
An + A + Bn = 1
n(A+B) + A = 1
A+B = 0 met A = 1 dus B =-1
tn = 1 / n - 1/(n+1)
Maar nu zit ik dus vast...
- Berichten: 1.069
Re: N-de partieelsom aan de hand van splitsen in partieelbreuken
Het lijkt me handig om eens een aantal termen van de reeks op te schrijven nu je de algemene term gesplitst hebt en te kijken wat er allemaal tegen elkaar wegvalt.
Opmerking: Gaat het hier over oneindige reeksen? Of is de algemene term de laatste term (dus eindig)?
Opmerking: Gaat het hier over oneindige reeksen? Of is de algemene term de laatste term (dus eindig)?
-
- Berichten: 57
Re: N-de partieelsom aan de hand van splitsen in partieelbreuken
of ze eindig zijn of oneindig moet je zelf bepalen. Limiet op oneindig pakken en kijken of dit convergeert of divergeert (je moet de "eventuele" reekssom bepalen, was ik vergeten vermelden)
Dus, enkele termen;
t1 1/2 n=1
t2 1/6 n=2
t3 1/12 n=3
1/2 is dus een gemeenschappelijke factor bij alles? Dat is dan t0 of niet?
dan kan je eigenlijk zeggen 0.5(1, 1/3, 1/6, ...,)?
Dus, enkele termen;
t1 1/2 n=1
t2 1/6 n=2
t3 1/12 n=3
1/2 is dus een gemeenschappelijke factor bij alles? Dat is dan t0 of niet?
dan kan je eigenlijk zeggen 0.5(1, 1/3, 1/6, ...,)?
- Berichten: 1.069
Re: N-de partieelsom aan de hand van splitsen in partieelbreuken
De algemene term is:
De reeks komt er dus als volgt uit te zien:
Wat valt je op?
\(t_n=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)
De reeks komt er dus als volgt uit te zien:
\(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}+\ldots\)
Wat valt je op?
-
- Berichten: 57
Re: N-de partieelsom aan de hand van splitsen in partieelbreuken
-0.5 + 0.5 = 0
-0.33 + 0.33 = 0
..
Dus enkel 1 blijft over als som?
EDIT:
Dus de limiet naar +oneindig van Sn is 1 ? wat dus de reekssom is?
-0.33 + 0.33 = 0
..
Dus enkel 1 blijft over als som?
EDIT:
Dus de limiet naar +oneindig van Sn is 1 ? wat dus de reekssom is?
- Berichten: 1.069
Re: N-de partieelsom aan de hand van splitsen in partieelbreuken
1 is het goede antwoord, maar het draait hierom:
De n-de partieelsom van de reeks is:
Er blijft dus over dat
Bepaal nu:
De n-de partieelsom van de reeks is:
\(S_n=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots + \frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)
Er blijft dus over dat
\(S_n=1-\frac{1}{n+1}\)
Bepaal nu:
\(\lim_{n\to +\infty} \left(1-\frac{1}{n+1}\right)\)
Als deze limiet bestaat en reeel is dan zal de reeks hiernaar convergeren.-
- Berichten: 57
Re: N-de partieelsom aan de hand van splitsen in partieelbreuken
Volgens de oplossing van de cursus is Sn = 1 / (n+1) ... niet 1 - 1/(n+1)
- Berichten: 1.069
Re: N-de partieelsom aan de hand van splitsen in partieelbreuken
Volgens de oplossing van de cursus is Sn = 1 / (n+1) ... niet 1 - 1/(n+1)
Dat lijkt me vreemd ...
- Berichten: 614
Re: N-de partieelsom aan de hand van splitsen in partieelbreuken
Dat lijkt me vreemd ...
Mij ook.
Sterker nog, ik weet zeker dat Siron gelijk heeft.
-
- Berichten: 57
Re: N-de partieelsom aan de hand van splitsen in partieelbreuken
Dan zal dit een fout zijn in de cursus.
Ik ben er nog altijd niet 100% mee weg, maar ga het even laten rusten nu. Bedankt voor de moeite
Ik ben er nog altijd niet 100% mee weg, maar ga het even laten rusten nu. Bedankt voor de moeite
- Berichten: 1.069
Re: N-de partieelsom aan de hand van splitsen in partieelbreuken
Wat begrijp je dan nog niet goed?Thomas93 schreef:Dan zal dit een fout zijn in de cursus.
Ik ben er nog altijd niet 100% mee weg, maar ga het even laten rusten nu. Bedankt voor de moeite