Om deze probleemstelling te beschrijven, denieren we de volgende gebeurtenissen:
- B: De patient is besmet met een bacteriele variant.
- T1: Test 1 duidt aan dat de patient besmet is met een bacteriele variant.
- T2: Test 2 duidt aan dat de patient besmet is met een bacteriele variant.
De volgende informatie is beschikbaar:
\(P(T_1 | B) = 0,90 ; P(T_2 | B) = 0,85 ;P(T^c_1 | Bc) = 0,70 ; P(T^c_2 | B^c) = 0,80\)
Bovendien veronderstelt men dat de resultaten van beide testen conditioneel onafhankelijk zijn gegeven de `echte' variant van de patient.(i) Voorgaande veronderstelling geeft aanleiding tot een aantal identiteiten, waaronder
\(P(T2 | B \bigcap T1) = P(T2 | B)\)
.Geef alle andere identiteiten die deze veronderstelling impliceert.
(ii) Bereken P(T2 | T1).
(iii) Een patient wordt onderworpen aan beide testen. Test 1 geeft aan dat het gaat om een bacteriele variant, terwijl test 2 aangeeft dat het gaat om een virale variant. Welke beslissing moet de arts nemen opdat de kans op een foutieve diagnose minimaal is?
-----------------------------------------------------------------------------
(i) De andere identiteiten die ik hierbij heb zijn:
\(P( T_2 | B \bigcap T_1) = P( T_2 | B)\)
\(P( T_2 | B \bigcap T^c_1) = P( T_2 | B)\)
\(P( T^c_2 | B \bigcap T_1) = P( T^c_2 | B)\)
\(P( T^c_2 | B \bigcap T^c_1) = P( T^c_2 | B)\)
\(P( T_2 \bigcap T_1 | B) = P( T_2 | B) P(T_1 |B)\)
\(P( T^c_2 \bigcap T_1 | B) = P( T^c_2 | B) P(T_1 |B)\)
\(P( T^c_2 \bigcap T^c_1 | B) = P( T^c_2 | B) P(T^c_1 |B)\)
\(P( T_2 \bigcap T^c_1 | B) = P( T_2 | B) P(T^c_1 |B)\)
Iemand die weet of dit correct is? (ik weet dat voor onconditionele onafhankelijkheid geldt dat als A en B onafhankelijk zijn, zijn \(A en B^c, A^c en B en A^c en B^c\)
ook onafhankelijk, maar ik weet niet zeker of dit ook geldt voor conditionele onafhankelijkheid.)(ii) Hierbij heb ik het volgende geprobeerd via de regel van de totale probabiliteit:
\(P (T_2) = P(T_1) P(T_2 | T_1) + P (T^c_1) P(T_2|T^c_1)\)
\(P(T_2 | T_1) = \frac{P (T_2) - P (T^c_1) P(T_2|T^c_1)}{ P(T_1)}\)
Hieruit zou ik wel weten hoe \(P(T_2), P(T_1) en P(T^c_1)\)
te berekenen, maar voor \(P(T_2 | T^c_1)\)
zou ik het niet weten. Iemand die me hier een duwtje in de rug kan geven?(iii) Hiervoor heb ik volgende kansen uitgerekend via de regel van Bayes:
\(P(B | T_1) = \frac{P(T_1 | B)P(B)}{P(T_1}\)
\(P(B | T_1) = \frac{0.9 *0.3}{0.48}\)
(P(T1) heb ik berekend via de regel van de totale probabiliteit.)\(P(B | T_1) = 0.56\)
\(P(B^c | T^c_2) = \frac{P(T^c_2 | B^c)P(B^c)}{P(T^c_2}\)
\(P(B^c | T^c_2) = \frac{0.2 * 0.7}{0.605}\)
(P(T2) heb ik berekend via de regel van de totale probabiliteit.)\(P(B^c | T^c_2) = 0.23\)
Hieruit kan ik besluiten dat de arts best als diagnose meegeeft dat het gaat om de bacteriële variant.Iemand die hier een fout(e) (methode) heeft gezien?
Bedankt alvast!
