Overaftelbaarheid

Yoran1991

Hallo allemaal,

ik wil me graag verdiepen in verzamelingenleer, en wel in het theorema van Cantor en (over)aftelbaarheid in het algemeen. Ik volg niet helemaal waarom

\(|\mathcal{P}(\mathbb{N})|=2^{\aleph_0}\)

. Ik zie wel waarom dit zo is voor een eindige verzameling, maar ben er niet helemaal van overtuigd waarom dit ook geldt voor een oneindige verzameling. Verder volg ik ook niet helemaal waarom de kardinaliteit van

\(\mathbb{R}\)

nu precies gelijk is aan de kardinaliteit van de powerset van

\(\mathbb{N}\)

Kan iemand een linkje sturen naar een site of een pdf waar dit wordt uitgelegd ?

Xenion

Ik ben geen expert, maar ik moet daar toevallig net stukken van leren.

Er zijn maar 2 kardinaliteiten voor dingen van oneindige grootte: aftelbaar en niet-aftelbaar.

Cantor heeft bewezen dat voor elke verzameling S, de powerset ervan 'groter' is dan de verzameling zelf.

Als de powerset van N groter moet zijn dan N zelf, dan kan die enkel niet-aftelbaar zijn en is ze dus 'even groot' als R.

Kijk hier voor het bewijs.

Yoran1991

Bedankt voor je snelle reactie

Ik heb het vorig jaar wel gehad bij een cursus, maar toen heb ik er weinig aandacht aan besteed. Ik weet wel dat een powerset groter is dan de set zelf, en dus dat de powerset van de natuurlijke getallen overaftelbaar moet zijn.

Nog steeds resteert mijn vraag waarom de kardinaliteit van R gelijk is aan

\(\aleph_1=2^{\aleph_0}\)

. Zoals ik al zei, ik zie dit wel voor eindige verzameling (elk element kan wel of niet in een subset zitten, dus de powerset heeft kardinaliteit 2^{n} waar n het aantal elementen is), maar niet voor een oneindige verzameling.

Bartjes

Xenion schreef:Er zijn maar 2 kardinaliteiten voor dingen van oneindige grootte: aftelbaar en niet-aftelbaar.

Cantor heeft bewezen dat voor elke verzameling S, de powerset ervan 'groter' is dan de verzameling zelf.

Als de powerset van N groter moet zijn dan N zelf, dan kan die enkel niet-aftelbaar zijn en is ze dus 'even groot' als R.

Dat is strikt genomen niet juist, er zijn oneindig veel kardinaliteiten. Zie:

Nog steeds resteert mijn vraag waarom de kardinaliteit van R gelijk is aan
\(\aleph_1=2^{\aleph_0}\)
.

Dat is ook nog een van grote raadsels van de wiskunde:

http://nl.wikipedia.org/wiki/Continu%C3%BCmhypothese

Zie verder nog:

http://nl.wikipedia.org/wiki/Kardinaliteit..._continu%C3%BCm

http://mathworld.wolfram.com/CardinalExponentiation.html

Xenion

Bartjes schreef:Dat is strikt genomen niet juist, er zijn oneindig veel kardinaliteiten. Zie:

http://nl.wikipedia.org/wiki/Kardinaalgetal

Ah, mijn excuses dan. Ik gebruik het enkel in de context van beslisbaarheid bij Turingmachines.

317070

Nog steeds resteert mijn vraag waarom de kardinaliteit van R gelijk is aan
\(\aleph_1=2^{\aleph_0}\)
. Zoals ik al zei, ik zie dit wel voor eindige verzameling (elk element kan wel of niet in een subset zitten, dus de powerset heeft kardinaliteit 2^{n} waar n het aantal elementen is), maar niet voor een oneindige verzameling.

Eigenlijk is dit erg eenvoudig. Ieder reëel getal op een binaire manier neerschrijven. Ieder reëel getal kun je schrijven als een aftelbaar aantal cijfers, ofwel 1 ofwel 0. Dus dan is de kardinaliteit van de reële getallen (

\(\aleph_1\)

) gelijk aan de powerset van de aftelbare getallen. (

\(2^{\aleph_0}\)

)

Waar bartjes het over heeft, is de vraag of er kardinaliteiten bestaan kleiner dan

\(\aleph_1\)

en groter dan

\(\aleph_0\)

. Niet helemaal ter zake hier.

Drieske

Hmm, dat interpreteer ik toch anders hoor, 317070. Letterlijk vanuit Wikipedia:

Met zijn diagonaalbewijs toonde Cantor aan dat het aantal reële getallen, aangeduid als C, groter is dan
\(\aleph_0\)
. Uit het diagonaalbewijs volgt echter niet dat C gelijk is aan
\(\aleph_1\)
, het eerste kardinaalgetal groter dan
\(\aleph_0\)
.

..//..

De continuumhypothese is op haar beurt gelijkwaardig met de gelijkheid

\(2^{\aleph_0} = \aleph_1\)

317070

Hmm, dat interpreteer ik toch anders hoor, 317070. Letterlijk vanuit Wikipedia:

Oh, I see. My bad. Ik dacht dat

\(\aleph_1\)

gedefinieerd was als de kardinaliteit van de reële getallen, maar dat klopt dus niet.

Wat er dus gevraagd werd:

Nog steeds resteert mijn vraag waarom de kardinaliteit van R gelijk is aan
\(\aleph_1=2^{\aleph_0}\)
.

Dus je kunt bewijzen dat de kardinaliteit van de reele getallen gelijk is aan

\(2^{\aleph_0}\)

, maar of die ook gelijk is aan

\(\aleph_1\)

kun je niet beslissen met de klassieke axiomas, daarvoor moet je een nieuw axioma invoeren.

tempelier

317070 schreef:Oh, I see. My bad. Ik dacht dat
\(\aleph_1\)
gedefinieerd was als de kardinaliteit van de reële getallen, maar dat klopt dus niet.

Wat er dus gevraagd werd:

Dus je kunt bewijzen dat de kardinaliteit van de reele getallen gelijk is aan
\(2^{\aleph_0}\)
, maar of die ook gelijk is aan
\(\aleph_1\)
kun je niet beslissen met de klassieke axiomas, daarvoor moet je een nieuw axioma invoeren.

Het probleem ligt dieper.

Bestaat er tussen twee transfiniete Kardinaal getallen altijd tenminste een ander transfiniet Kardinaal getal?

1. Er is aangetoond door een slimerik dat als men aanneemt dat het zo is, dat niet tot contradicties leidt.

2. Vervelendewijs heeft een andere slimmerik aangetoond dat aannemen dat het niet zo is, ook niet tot contradikties leidt.

Maar kan men nu beide aannemen zoals met wel of niet Euclidische meetkunde?

Of is er maar eentje waar en is het onbewijsbaar welke????

Ik denk (zonder bewijs) het laatste.

PS. Brouwer draait zich nu om in zijn graf van het lachen.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Overaftelbaarheid

Overaftelbaarheid

Re: Overaftelbaarheid

Re: Overaftelbaarheid

Re: Overaftelbaarheid

Re: Overaftelbaarheid

Re: Overaftelbaarheid

Re: Overaftelbaarheid

Re: Overaftelbaarheid

Re: Overaftelbaarheid