Integreren en differentiëren met e

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer

Bericht 07-01-'12, 17:57

AppleMac

Berichten: 4

Integreren en differenti

Dag allemaal,

Alhoewel ik wel vaker mee heb gelezen op het forum, nooit aangemeld. Nu toch maar gedaan omdat ik weet dat hier knappe koppen zitten die me hier ongetwijfeld mee kunnen helpen.

Ik zit met het volgende probleem:

Na een aantal jaar geen wiskunde te hebben gehad(3-4 jaar) nu voor een nieuwe opleiding bezig met onder andere wiskunde voor economie. En ondanks de achterstand(heb alleen wiskunde A gehad bij het E&M profiel) lukt het me aardig mee te komen met de rest. Echter zit bij mij toch elke keer het grootse probleem bij rekenen met het getal e, vooral bij integreren en differentieren. Ter voorbereiding van een tentamen komende week ben ik weer aan het oefenen geslagen; het gaat redelijk goed, tot ik sommen met e tegen kom. Zie bijvoorbeeld de volgende opgave:

Afbeelding

Ik krijg als antwoord via WolframAlpha(gebruik het redelijk vaak om te checken of ik goed bezig ben/goed antwoord heb) dat de uitkomst 0 is. Wat zie ik niet als ik met e werk en wel met x? Is dit een veel voorkomend probleem bij studenten/scholieren die bezig zijn met wiskunde? En zijn er misschien manieren om mij te helpen zodat ik gemakkelijker met e leer werken?

Tot slot nog even een vraag; nadat ik dit vak gehaald heb moet ik volgend jaar Mathematics II volgen, is er misschien ergens de mogelijkheid een week of 2 in de zomer aan wiskunde te werken via een instelling? Ik studeer zelf aan de RUG, maar ik ben nog geen opfriscursussen/bijspijkercursussen tegen gekomen.

Alvast enorm bedankt!

AppleMac

ps: mocht dit toch in het verkeerde gedeelte staan, mijn excuses daarvoor.
Omhoog

Bericht 07-01-'12, 18:29

Siron

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Integreren en differenti

Wat is de afgeleide van
\(e^x\)
?

Als je nu het verband snapt tussen integralen en afgeleiden zou je direct de integraal van
\(e^x\)
kunnen bepalen d.m.v de afgeleide.

Enkele aanvullingen:

Welke technieken heb je al gezien om integralen op te lossen? Weet je hoe je bepaalde integralen moet oplossen? ...
Omhoog

Bericht 07-01-'12, 18:57

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Integreren en differenti

Afbeelding
Heb je al een grafiek gemaakt van de integrand e^x-e^(-x), valt je dan iets op?

Als je bovenstaande vraag hebt bekeken/beantwoord.

Wat weet je van de functie e^x en in het bijzonder van het getal e ...
Omhoog

Bericht 08-01-'12, 12:17

AppleMac

Berichten: 4

Re: Integreren en differenti

Siron schreef:Wat is de afgeleide van
\(e^x\)
Heb je al een grafiek gemaakt van de integrand e^x-e^(-x), valt je dan iets op?

Als je bovenstaande vraag hebt bekeken/beantwoord.

Wat weet je van de functie e^x en in het bijzonder van het getal e ...
Ik moet zeggen dat wij nooit grafieken maken, omdat ze bij ons voornamelijk geinteresseerd zijn in het kunnen maken van de berekening, en daarna dan economisch toepassen(consumer/producer surplus berekenen aan de hand van de integraal.) Tevens heb ik nog nooit een inegrand berekend, of in ieder geval niet in die term. :)
Omhoog

Bericht 09-01-'12, 10:23

tempelier

Gebruikersavatar
Berichten: 4.320

Re: Integreren en differenti

Het is gewoon de functie
\(2 sinh(x)\)
die is oneven en standaard
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
Omhoog

Bericht 09-01-'12, 11:15

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Integreren en differenti

Wat heb je nu al geprobeerd?

Je kan de integraal splitsen in de integralen van de termen e^x en -e^(-x) ...
Omhoog

Bericht 09-01-'12, 12:43

AppleMac

Berichten: 4

Re: Integreren en differenti

tempelier schreef:Het is gewoon de functie
\(2 sinh(x)\)
Wat heb je nu al geprobeerd?

Je kan de integraal splitsen in de integralen van de termen e^x en -e^(-x) ...
Ik bedacht me dat de integraal van e^x gewoon e^x is, en dat de integraal van e^(-x) -e^(-x) is, dus dat de originele functie dan zou moeten zijn e^x + e^(-x). Maar of dit correct is?

ps: Waarschijnlijk zit voornamelijk mijn probleem hem dan niet specifiek in e zelf, maar wellicht is het onderliggende probleem rekenen met logaritmen? Zijn er wellicht kleine tips die het werken met logaritmen gemakkelijker kunnen maken?
Omhoog

Bericht 09-01-'12, 12:49

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Integreren en differenti

Als je twijfelt aan een oplossing: als je je oplossing afleidt, moet je wat bekomen? Dat is altijd een handige controle.

Ik zou zeggen: pas dat hier eens toe. Dan weet je meteen of bouw oplossing klopt.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 09-01-'12, 12:53

hanzwan

Berichten: 132

Re: Integreren en differenti

Je zou dit meteen kunnen zien, zoals eerder is vermeld is dit een oneven functie (namelijk 2 sinh x) maar ik neem aan dat een gemiddelde economie student de sinus hyperbolicus niet kent. Daarnaast zou je kunnen beredeneren dat het domein (-2 tot en met 2) symmetrie vertoont. Omdat de 'oppervlakte onder de grafiek' bij -2 en 2 precies omgekeerd zijn (dwz, het gebied links van de Y-as is precies tegenovergesteld van rechts) is de som van de twee oppervlaktes dus 0.

Als dit niet direct duidelijk is zou je desnoods het integraal nog kunnen opsplitsen. In twee integralen en dan het integraal uitrekenen.

Ik merk dat er veel economie studenten zijn die moeite hebben met de het getal E, sommige denken dat het net als X een variabele is, anderen denken dat het een mysterieus getal is dat vaak in groeprocessen of rente berekeningen opduikt. Weer anderen lezen het maar als het getal 2.7....

Eigenlijk is e niet een getal maar een process. Dit process zou je kunnen omschrijven als een groei. Neem bijvoorbeeld de rente die iemand krijgt over zijn geïnvesteerde geld. Na een jaar krijg je bijvoorbeeld 5% rente. Als je dit opdeelt in 2 periodes van een halfjaar krijg je 2 keer 2.5% en zo kan je deze periodes steeds kleiner maken. Naarmate je de periodes ontzettend klein maakt, laten we zeggen dat je elke seconde een bepaald percentage krijgt, dan zal je op jaarbasis e keer de 5% rente krijgen. We kunnen e dus omschrijven als een groeiprocess waarbij je niet in vaste (lange/grote) periodes een groei ziet, maar een proces waarin de groei eigenlijk altijd bezig is.

Het blijkt dat e benadert kan worden door een getal, dit getal is 2.7 enzovoorts. E is dus in principe geen getal maar een proces dat naar een getal toegroeit (convergeert)* Wanneer je als economie student dus e-functies tegenkomt dan gaat het dus vaak om groeiprocessen waarbij de groei is gecorrigeerd zodat het een continue groei modelleert/benaderd, wat ook logischer is eigenlijk, want veel natuurlijke processen groeien constant ipv ineens, uit het niets een percentage.

Er zijn een aantal handige boeken om wat wiskunde B op te krikken. Zo is het basisboek van Craats redelijk handig. Niet alle onderwerpen zullen van pas komen, maar integralen, goniometrie, en nog een paar onderwerpen zijn handig. Als ik het mij goed herinner worden er op de UVA elke zomer cursussen gegeven die dit boekje als lesstof behandelen.

Misschien dat het niveau tegen die tijd wat laag is, in dat geval heb je er misschien wat aan om eens een calculus boek van een beta-studie (econometrie, natuurkunde, wiskunde) door te nemen, vaak is dit in combinatie met websites zoals Khanacademy.org en youtube begeleidingsfilmpjes redelijk goed te doen.

*ik weet dat dit niet helemaal correct is maar ik formuleer het gemakshalve even op deze manier.
Omhoog

Bericht 09-01-'12, 13:15

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Integreren en differenti

Ik bedacht me dat de integraal van e^x gewoon e^x is, en dat de integraal van e^(-x) -e^(-x) is, dus dat de originele functie dan zou moeten zijn e^x + e^(-x). Maar of dit correct is?
Zoals Drieske al opmerkt: differentieer je gevonden functie weer naar x

Het is toch bekend (hoop ik):
\(F(x)=\int f(x)dx \iff F'(x)=f(x)\)
Omhoog

Bericht 09-01-'12, 16:55

samthegreat4

Berichten: 14

Re: Integreren en differenti

Om te integreren moet je allereerst de primitieve van die functie hebben.

Ik neem aan dat je weet dat de primitieve van e^(x) = e^(x). De primitieve van e^(-x) gaat wat anders. Die doe je namelijk met de kettingregel.

Dat gaat als volgt:

Je zegt: y= e^(-x) = e^(U) --> je vervang -x dus gewoon door de letter U.

Nou moet je het volgende doen: de primitieve nemen van e^(U) en deze dan delen door de afgeleide van U.

Nou, de primitieve van e^(U) moet niet zo moeilijk zijn dit gaat namelijk gewoon via dezelfde methode als e^(x).

Dus de primitieve van e^(U) = e^(U) --> en U= -x --> dus uiteindelijk wordt de primitieve van e^(U) gewoon e^(-x). Maar dat moet je nog delen door de afgeleide van U. En nogmaals: U= -x --> afgeleide van -x lijkt me makkelijk? Namelijk -1. Nou daar heb je het:

De primitieve van het 2e gedeelte van je som is dus e^(-x)/-1 --> oftewel -e^(-x).

edit: maar ik zie net dat je dat allemaal al gevonden hebt :) .

In ieder geval: nou is je totale primitieve functie dus zoals je al zegt: F(x)=e^(x)+e^(-x)+C. En als je dat differentieert zoals Safe voorstelt zul je op je beginfunctie uit moeten komen.

Nou begin je aan het integreren: eerst vul je de bovengrens in, dat is 2 --> e^(2)+e^(-2)

Nu ga je de ondergrens invullen, dat is -2 --> e^(-2)+e^(--2) dus --> e^(-2)+e^(2)

Nou trek je de uitkomt van je ondergrens invullen af van de uitkomst van je bovengrens invullen:

e^(2)+e^(-2) - e^(-2)+e^(2) en ziet daar: er komt 0 uit. Je hebt nu dus het oppervlakte berekend onder die functie op het domein x=-2 t/m x=2.
Omhoog

Bericht 09-01-'12, 23:20

AppleMac

Berichten: 4

Re: Integreren en differenti

Heel erg bedankt allemaal! Uiteindelijk ging het me blijkbaar niet echt om de som zelf(al ben ik blij dat ik nu ook precies zie waarom het antwoord 0 was), maar om het feit dat ik toch moeite heb met logaritmen. Morgenochtend mijn final exam van mathematics, vandaar dat ik meer bezig was met studeren dan op het forum jullie reacties weer beantwoorden, mijn excuses!

In ieder geval ga ik kijken om deze zomer een cursus wiskunde te doen om het bij te spijkeren en toch er nog beter in ga worden, want a) ik zal het nodig hebben en b) ik vind het eigenlijk ook best leuk, wiskunde :)
Omhoog

Bericht 10-01-'12, 10:24

hanzwan

Berichten: 132

Re: Integreren en differenti

succes met je examen! Als je er eenmaal een beetje in zit kan wiskunde heel verslavend zijn, zeker wanneer je verbanden gaat zien die voorheen onmogelijk leken.
Omhoog

Bericht 10-01-'12, 17:46

samthegreat4

Berichten: 14

Re: Integreren en differenti

AppleMac schreef:Heel erg bedankt allemaal! Uiteindelijk ging het me blijkbaar niet echt om de som zelf(al ben ik blij dat ik nu ook precies zie waarom het antwoord 0 was), maar om het feit dat ik toch moeite heb met logaritmen. Morgenochtend mijn final exam van mathematics, vandaar dat ik meer bezig was met studeren dan op het forum jullie reacties weer beantwoorden, mijn excuses!

In ieder geval ga ik kijken om deze zomer een cursus wiskunde te doen om het bij te spijkeren en toch er nog beter in ga worden, want a) ik zal het nodig hebben en b) ik vind het eigenlijk ook best leuk, wiskunde :)
Veel succes!
Omhoog
Reageer

Terug naar “Analyse en Calculus”