Hallo allemaal!
Ik blijf een beetje vast zitten met inzicht te krijgen in hoe ik een torus verkrijg bij het omwentelen van een cirkel rond de x-as.
Stel dat we een torus hebben met kleine straal 1 en grote straal 3. Nu moet ik een algemene formule opstellen voor het volume bij omwenteling rond de x-as.
Ik snap dat we een cirkel moet wentelen rond de x-as waarvan het middelpunt zeker niet op de x-as mag liggen want zo krijg je een bol.
Hoe weet ik nu de straal van de cirkel die ik wel moet omwentelen, want het inzicht onbreekt me wat ...
Alvast bedankt.
Laatste berichten
-
22:08
wig 11
-
21:37
speciale rel. theorie 12
-
21:22
[scheikunde] vraag Chemie - wat is de oplossing? 11
-
20:14
Aardlek-schakelaar 2
-
15:56
Programmeren met vectoren 6
-
14:53
Straatklok loopt 5 minuten voor 12
-
25 apr
Gravity and gravitation 4
-
25 apr
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 10
-
25 apr
Vogels in de stad zijn goede klussers 2
-
25 apr
Rood laserlicht 3
-
25 apr
Herleiden afmetingen vanaf een foto 21
-
25 apr
[wiskunde] Prijs Product per KG; Alternatief Inzicht 3
-
25 apr
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 9
-
25 apr
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 17
-
25 apr
[natuurkunde] kroon van koning op Syracuse 10
-
25 apr
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
24 apr
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
24 apr
positie 2
-
24 apr
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Volume torus via omwenteling
-
- Berichten: 10.179
Re: Volume torus via omwenteling
Het vet gedrukte geeft je het antwoord lijkt mij?Prot schreef:Stel dat we een torus hebben met kleine straal 1 en grote straal 3. Nu moet ik een algemene formule opstellen voor het volume bij omwenteling rond de x-as.
Hoe weet ik nu de straal van de cirkel die ik wel moet omwentelen, want het inzicht onbreekt me wat ...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 478
Re: Volume torus via omwenteling
Het vet gedrukte geeft je het antwoord lijkt mij?
Maar waarom?
Ik krijg er maar geen inzicht in ... Het middelpunt ligt bijvoorbeeld op de y-as, dan moet ik toch het lijnstuk (denkbeeldig) omwentelen van het middelpunt van de cirkel op de y-as tot de oorsprong?
-
- Berichten: 10.179
Re: Volume torus via omwenteling
Ik snap je probleem niet helemaal... Je hebt volgende figuur (bijvoorbeeld):
Deze figuur ga je nu wentelen om de x-as. Denkbeeldig betekent dat dus dat je een staaf vastmaakt aan je ring (cirkel) en die in de oorsprong plaatst. Vervolgens beweeg je die staaf rond (ze komt uit je scherm, gaat naar onder, gaat achter je scherm en komt weer uit waar je begon). De figuur die je dan hebt gemaakt, is een torus.
Ik veronderstel dat je met kleine straal bedoelt: de lengte van mijn denkbeeldige staaf (dus afstand oorsprong tot rand cirkel). En met grote straals: de afstand van de oorsprong tot het middelpunt van je cirkel. Nu kun je toch de afstand van je cirkel bepalen?
- WSF_Torus.png (6.6 KiB) 1602 keer bekeken
Ik veronderstel dat je met kleine straal bedoelt: de lengte van mijn denkbeeldige staaf (dus afstand oorsprong tot rand cirkel). En met grote straals: de afstand van de oorsprong tot het middelpunt van je cirkel. Nu kun je toch de afstand van je cirkel bepalen?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 478
Re: Volume torus via omwenteling
Kleine straal: straal van het middelpunt van de torus tot aan de binnenkant van de torus (in dit geval 1)Drieske schreef:Ik snap je probleem niet helemaal... Je hebt volgende figuur (bijvoorbeeld):
[attachment=9294:WSF_Torus.png]
Deze figuur ga je nu wentelen om de x-as. Denkbeeldig betekent dat dus dat je een staaf vastmaakt aan je ring (cirkel) en die in de oorsprong plaatst. Vervolgens beweeg je die staaf rond (ze komt uit je scherm, gaat naar onder, gaat achter je scherm en komt weer uit waar je begon). De figuur die je dan hebt gemaakt, is een torus.
Ik veronderstel dat je met kleine straal bedoelt: de lengte van mijn denkbeeldige staaf (dus afstand oorsprong tot rand cirkel). En met grote straals: de afstand van de oorsprong tot het middelpunt van je cirkel. Nu kun je toch de afstand van je cirkel bepalen?
Grote straal: straal van het middelpunt tot de buitenkant van de torus (in dit geval 3)
Dus in dit geval, ga ik de cirkel wentelen met middelpunt (0,2) lijkt me waarvan de straal dan inderdaad 1 is (is dit goed?)
Ik veronderstel dat ik nu moet integreren van -1 tot 1?
-
- Berichten: 10.179
Re: Volume torus via omwenteling
Klopt helemaalDus in dit geval, ga ik de cirkel wentelen met middelpunt (0,2) lijkt me waarvan de straal dan inderdaad 1 is (is dit goed?)
.Stel eens de volledige integraal op. Dan kunnen we meteen zien of je het juist hebtIk veronderstel dat ik nu moet integreren van -1 tot 1?
.Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 478
Re: Volume torus via omwenteling
Ok, dus de cirkel die me moeten wentelen heeft als middelpunt (0,2) en straal 1 d.w.z dat de vergelijking gegeven wordt door:Drieske schreef:Klopt helemaal
Stel eens de volledige integraal op. Dan kunnen we meteen zien of je het juist hebt
\((y-2)^2+x^2=1\)
ofwel\(\Leftrightarrow (y-2)^2=1-x^2\)
\(\Leftrightarrow y-2=\sqrt{1-x^2}\)
\(\Leftrightarrow y=\sqrt{1-x^2}+2\)
Berekening van het volume:\(\pi \int_{-1}^{1} (\sqrt{1-x^2}+2)^2dx= \frac{28\pi +6\pi^2}{3}\)
-
- Berichten: 4.320
Re: Volume torus via omwenteling
Prot schreef:
Ok, dus de cirkel die me moeten wentelen heeft als middelpunt (0,2) en straal 1 d.w.z dat de vergelijking gegeven wordt door:
\((y-2)^2+x^2=1\)ofwel
\(\Leftrightarrow (y-2)^2=1-x^2\)\(\Leftrightarrow y-2=\sqrt{1-x^2}\)\(\Leftrightarrow y=\sqrt{1-x^2}+2\)
Berekening van het volume:
\(\pi \int_{-1}^{1} (\sqrt{1-x^2}+2)^2dx= \frac{28\pi +6\pi^2}{3}\)
De integraal is goed berekend maar de inhoud van een torus is
\( 2\pi^2 r^2 R\)
Dus iets is er mis.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
-
- Berichten: 10.179
Re: Volume torus via omwenteling
En wat met het negatieve stuk van je cirkel?Prot schreef:\((y-2)^2+x^2=1\)ofwel
\(\Leftrightarrow (y-2)^2=1-x^2\)\(\Leftrightarrow y-2=\sqrt{1-x^2}\)\(\Leftrightarrow y=\sqrt{1-x^2}+2\)
Je kunt ook eens hier kijken eventueel.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Pluimdrager
- Berichten: 6.596
Re: Volume torus via omwenteling
De formule die Tempelier gaf is juist.
Ik begrijp dat je het volume van die torus met behulp van een bepaalde integraal moet oplossen.
Dat de formule van tempelier juist is volgt ook uit de volgende bekende regel uit de machanica.
De tweede regel van Guldin:
De inhoud van een omwentelingslichaam is gelijk aan het produkt van het oppervlak van de wentelende figuur en de weg die het zwaartepunt van deze figuur tijdens de wenteling doorloopt.
Dus in dit geval:
Ik begrijp dat je het volume van die torus met behulp van een bepaalde integraal moet oplossen.
Dat de formule van tempelier juist is volgt ook uit de volgende bekende regel uit de machanica.
De tweede regel van Guldin:
De inhoud van een omwentelingslichaam is gelijk aan het produkt van het oppervlak van de wentelende figuur en de weg die het zwaartepunt van deze figuur tijdens de wenteling doorloopt.
Dus in dit geval:
\( V=\pi \cdot r^2 \cdot 2 \pi R=2 \pi^2 r^2 R \)
-
- Pluimdrager
- Berichten: 6.596
Re: Volume torus via omwenteling
Prot stelt dat de vergelijking van de cirkel gelijk is aan
\({(y-2)}^2 + x^2 =1 \)
Moet dit niet zijn:\({(y-3)}^2 + x^2 =1 \)
???-
- Berichten: 10.179
Re: Volume torus via omwenteling
Neen. Want de buitenste cirkel heeft straal 3. Maar dat is niet het middelpunt van je cirkel. Het middelpunt ligt in het midden tussen je grote en kleine straal. Dus op afstand 2. Dus middelpunt is (0, 2). Mocht je je op mijn figuur baseren: dat was een willekeurige cirkel met straal 1 op de y-as.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Pluimdrager
- Berichten: 6.596
Re: Volume torus via omwenteling
Gegeven is: Torus met kleine straal r=1 en grote straal R=3
Volgens mij is je afbeelding helemaal juist.
Dat is precies de maatvoering van de torus .
Sorry, als ik het verkeerd zie.
Volgens mij is je afbeelding helemaal juist.
Dat is precies de maatvoering van de torus .
Sorry, als ik het verkeerd zie.
-
- Berichten: 10.179
Re: Volume torus via omwenteling
Ik ben het ook zo gewend. Maar TS geeft aan met grote straal iets anders te bedoelen. Namelijk:
Grote straal: straal van het middelpunt tot de buitenkant van de torus
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Pluimdrager
- Berichten: 6.596
Re: Volume torus via omwenteling
Dan denk ik toch dat de TS het verkeerd ziet.
Onder de grote straal R van een torus verstaan we de afstand van het centrum van de torus tot het middelpunt van de cirkel die men krijgt als je een dwarsdoorsnede van de torus neemt.
Onder de grote straal R van een torus verstaan we de afstand van het centrum van de torus tot het middelpunt van de cirkel die men krijgt als je een dwarsdoorsnede van de torus neemt.
