Inverse matrix

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer

Bericht 12-01-'12, 10:35

CaroWis

Berichten: 26

Inverse matrix

Normaal gesproken zet je om een inverse matrix te kunnen berekenen de eenheidsmatrix achter de "gewone" matrix.

Waarbij je de gewone matrix naar de eenheidsmatrix veegt. Op de plek van de eenheidsmatrix verschijnt dan de inverse matrix. Tot zover is het mij duidelijk :)

Maar, wanneer er gevraagd wordt om bijvoorbeeld bij een 3x3 matrix alleen de derde kolom te berekenen gaat het fout.

Door te kiezen voor de lange weg (de methode hierboven) verlies je veel tijd en reken je 2 kolommen teveel uit.

De korte weg, door alleen de derde kolom te vegen lukt mij niet.... Wie oh wie helpt mij op weg?

Voorbeeld: Bereken de derde kolom van A-1 (indien deze bestaa

3 0 -4

2 0 3 = A

5 0 5
Omhoog

Bericht 12-01-'12, 10:42

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Inverse matrix

Ik had er nog nooit van gehoord. Maar wat ik zou doen. Eerst wat algemene uitleg:
\(\begin{pmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}c \\ f \\ i\end{pmatrix}\)
. Met andere woorden: je derde eenheidsvector 'selecteert' je derde kolom. Nu wil jij de derde kolom van de inverse van A. Dus:
\(A^{-1} \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}\)
. Dan is
\(\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}\)
je derde kolom. Maar je probleem is dat je de inverse niet kent! Maar A wel... Dus zoek een vector zodat:
\(A \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\)
. Snap je dit?

PS: dit is algemene uitleg en aanpak. Ken je determinant al?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 12-01-'12, 10:52

CaroWis

Berichten: 26

Re: Inverse matrix

Ik begrijp wat je bedoelt, maar het levert mij niet het juiste antwoord op helaas.

Het schijnt heel eenvoudig te zijn, dus extra frustrerend dat het mij niet lukt...

het antwoord is trouwens:

0

1/3

0

Ik ben bekend met de determinant bij het bepalen van de inverse matrix van een 2x2 matrix en ook voor het diagonaliseren van een matrix
Omhoog

Bericht 12-01-'12, 10:58

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Inverse matrix

Als jouw matrix klopt, kan ik kort zijn: dat antwoord klopt niet.

Kun je gewoon in het algemeen de determinant bepalen van een (3x3)-matrix?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 12-01-'12, 11:04

CaroWis

Berichten: 26

Re: Inverse matrix

Ik durf het bijna niet te zeggen :) maar de matrix klopt inderdaad niet....

Het moet zijn:

3 0 -4

2 0 3 = A

5 3 5

Het antwoord klopt wel, check check dubbel check.

Op de normale manier de gehele inverse berekenen lukt wel.

3 0 -4 | 1 0 0

2 0 3 | 0 1 0

5 3 5 | 0 0 1

En dan vegen maar.... Deze matrix is helaas juist zo gekozen dat er allerhande breuken uitkomen, wat niet prettig rekent en de kans op fouten vergroot...

De determinant bepalen, zou ook moeten lukken, maar is dat niet veel werk voor iets wat makkelijker kan?
Omhoog

Bericht 12-01-'12, 11:09

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Inverse matrix

Met deze juiste matrix klopt het inderdaad. Pas mijn systeem nu eens toe? Dan krijg je 3 vergelijkingen:

3x - 4z = 0

2x + 3z = 0

5x + 3y + 5z = 1

Uit die eerste twee kun je heel rap x en z bepalen. Eens je die hebt, volgt uit de derde nog rapper wat y is.

PS: de determinant vroeg ik omdat van jouw oorspronkelijke matrix de determinant 0 was. En dat betekent dan weer dat je matrix niet inverteerbaar was. Wat dus betekent dat er geen derde kolom is, want de matrix bestaat niet :) . Maar nu, met de juiste matrix, is dat probleem weg.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 12-01-'12, 11:17

CaroWis

Berichten: 26

Re: Inverse matrix

Het is misschien niet de methode die ik zocht, maar het werkt zeker weten!

En snel is het ook! Dank je wel!
Omhoog

Bericht 12-01-'12, 11:20

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Inverse matrix

Welke methode zocht je dan wel :) ? Het is in mijn ogen de enige manier om enkel de derde kolom van een matrix te berekenen...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 12-01-'12, 11:26

CaroWis

Berichten: 26

Re: Inverse matrix

Doormiddel van het vegen naar de laatste kolom. Maar hoe? Ik zou het echt niet weten...

Uiteindelijk gaat het erom dat er het juiste antwoord uit komt, links of rechtsom...

Maar stel dat er gevraagd was om van alleen de derde rij de A-1 te berekenen.

Hoe zou je dat dan aanpakken? Moet je dan wel alles berekenen of kan het op dezelfde wijze?
Omhoog

Bericht 12-01-'12, 11:32

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Inverse matrix

Wat ik dan zou doen, is eerst de matrix transponeren :) . En dan zit je in bovenstaand geval.

Wil je het toch op de manier van eerder. Dat gaat, maar werkt lichtjes omgekeerd:
\(\begin{pmatrix}0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}g & h & i\end{pmatrix}\)
. Dus met hetzelfde verhaal zoek je nu:
\(\begin{pmatrix}x & y & z\end{pmatrix} A = \begin{pmatrix}0 & 0 & 1\end{pmatrix}\)
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 12-01-'12, 11:36

CaroWis

Berichten: 26

Re: Inverse matrix

Zo simpel kan het dus zijn :)

Ik ga maar eens even wat sommetjes oefenen.

In ieder geval bedankt voor je snelle en heldere uitleg!
Omhoog

Bericht 12-01-'12, 11:45

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Inverse matrix

Graag gedaan :) . Natuurlijk is dit proces vooral efficiënt bij relatief eenvoudige matrices, zoals degene in jouw geval was. Immers, in het algemeen los je een stelsel van 3 vergelijkingen met 3 onbekenden. En dat is niet altijd even makkelijk. Maar helaas kan ik geen methode bedenken, die wezenlijk verschilt van mijn hierboven, én die het oplossen van zo'n stelsel vermijdt.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog
Reageer

Terug naar “(Lineaire) Algebra en Meetkunde”