Taylorseries en het getal 0.

De leek

Ik ben voor mijn studie met Taylor series bezig en zie iets waar ik niet uitkom. Bepaalde Taylor expansies kunnen in een sommatie een factor x^(an) bevatten, zoals e^x of cos(x). Het is dan een sommatie die begint met n=0 en een x^n term heeft. Maar hoe kan dat ooit gedefinieerd zijn voor n=0 en x= 0. 0^0 = niet gedefinieerd =/= 1. In mijn calculus boek gaan ze ervanuit dat dit wel het geval is door te zeggen dat de sommatie voor alle x geldig is. Maar hoe kan het ooit geldig zijn voor x=0?

ZVdP

Men neemt daar dan (impliciet) een limiet.

\(\lim_{x\to 0}x^0=1\)

hanzwan

Ik denk dat je een aantal dingen door elkaar haalt. Een taylor serie is een benadering van een functie op een bepaald punt. Deze benadering gebeurt door de waarde in het punt zelf + de 1e tm de n-de afgeleide in het punt te nemen. Deze Taylorseries kunnen dan gebruikt worden om een schatting van een nabij liggend punt te maken (die dus is gebaseerd op de waarde van de afgeleides in het punt waar de taylorserie op gebaseerd is)

Wanneer de taylor serie van een functie in het punt 0 wordt uitgerekend (in dit geval noemt men het ook wel een MacLaurin serie) dan hoeven de waardes niet per se 0 te zijn.

Je gebruikt zo'n serie dus om de waarde in nabij gelegen punten te schatten. Dus als het onderdeel x-a=0 dan wil dit zeggen dat je dus het punt zelf berekent, en het enige wat er dan overblijft is de constante aan het begin van de formule. Als je een schatting doet van de waarde in een bepaalde omgeving van a dan is |x-a|>0 en dus zal de taylor/mc laurin serie een schatting geven.

ZVdP

Ik denk dat wat De leek bedoelt is:

\(e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\)

Voor x=0 is daar inderdaad een klein probleempje in die som, tenzij je zoals eerder gezegd een limiet neemt.

De leek

ZVdP schreef:Ik denk dat wat De leek bedoelt is:

\(e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\)
Voor x=0 is daar inderdaad een klein probleempje in die som, tenzij je zoals eerder gezegd een limiet neemt.

Precies dat bedoel ik. Als je een limiet neemt is het geen probleem natuurlijk. Maar dan zou de formule voor de reeks dus moeten worden aangepast tot:

\(e^x=1+\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n!}\)

TD

Dergelijke notatie van reeksen is inderdaad alleen zo 'elegant' door in deze context - of algemeen - de definitie 0⁰ = 1 aan te nemen. Men doet dat doorgaans impliciet.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Taylorseries en het getal 0.

Taylorseries en het getal 0.

Re: Taylorseries en het getal 0.

Re: Taylorseries en het getal 0.

Re: Taylorseries en het getal 0.

Re: Taylorseries en het getal 0.

Re: Taylorseries en het getal 0.