Om patienten met hersenvliesontsteking gepast te kunnen behandelen, is het belangrijk te weten of het gaat om een bacteriele (30% van alle besmettingen) of een virale variant (70%). Het is bovendien onmogelijk dat een patient besmet is met beide varianten. Om te bepalen om welke variant het gaat, heeft men twee testen ter beschikking.
Om deze probleemstelling te beschrijven, definiëren we de volgende gebeurtenissen:
- B: De patient is besmet met een bacteriele variant.
- T1: Test 1 duidt aan dat de patient besmet is met een bacteriele variant.
- T2: Test 2 duidt aan dat de patient besmet is met een bacteriele variant.
De volgende informatie is beschikbaar:
\(P(T_1 | B) = 0,90 ; P(T_2 | B) = 0,85 ;P(T^c_1 | B^c) = 0,70 ; P(T^c_2 | B^c) = 0,80\)
Bovendien veronderstelt men dat de resultaten van beide testen conditioneel onafhankelijk zijn gegeven de `echte' variant van de patient.
Gevraagd wordt: Bereken P(T2 | T1).
--------------------------------------------------
Zelf heb ik hierbij het volgende geprobeerd via de regel van de totale probabiliteit:
\(P (T_2) = P(T_1) P(T_2 | T_1) + P (T^c_1) P(T_2|T^c_1)\)
\(P(T_2 | T_1) = \frac{P (T_2) - P (T^c_1) P(T_2|T^c_1)}{ P(T_1)}\)
Hieruit zou ik wel weten hoe
\(P(T_2), P(T_1) en P(T^c_1)\)
te berekenen, maar voor
\(P(T_2 | T^c_1)\)
zou ik het niet weten. Iemand die me hier een duwtje in de rug kan geven? Of die eventueel een andere/betere methode kan aanraden?