Ik geef een voorbeeldje:
De gezamenlijke PDF van een toevalsvector (X, Y) wordt gegeven door
\(f_X_,_Y (x, y) = \left\{ \begin{array}{rcl}10x^2y & \mbox{for} & 0\leq y\leq x\leq1 \\ 0 & \mbox{anders}\end{array}\right.\)
Nu wordt een vraag gesteld waarbij je een dubbelintegraal moet gebruiken, bijvoorbeeld: bepaal de verwachtingswaarde van E [XY].Ik weet dat ik dit als volgt kan oplossen:
Om de grenzen te bepalen moet ik kijken naar de vergelijking van mijn grondvlak. In dit geval is dit gewoon y=x, dus de eerste bissectrice waarbij zowel x als y tussen 0 en 1 liggen. Hierbij kan je dus bijvoorbeeld y laten lopen van 0 --> 1 en de grenzen van x worden dan van y -->1. Ik bekom dan:
\(E[XY] = \int^1_0 \int^1_y xy10x^2ydxdy\)
\(E[XY] = \frac{10}{21}\)
(dit is de correcte oplossing)Anderzijds kan ik ook x als 'vast' nemen en y laten variëren. x zal nu lopen van 0 --> 1 en y van 0 --> x.
Ik bekom dan:
\(E[XY] = \int^1_0 \int^x_0 xy10x^2ydydx\)
\(E[XY] = \frac{10}{21}\)
(dit is de correcte oplossing)Maar nu zie ik nog twee mogelijkheden, die beiden echter tot een fout resultaat leiden:
Ik kan y weer laten lopen van 0 --> 1 en dan x van 0 --> y. Dan bekom ik dit:
\(E[XY] = \int^1_0 \int^y_0 xy10x^2ydxdy\)
\(E[XY] = \frac{10}{24}\)
(dit is een foute oplossing)Ik kan ook x laten lopen van 0 -->1 en dan y van x-->1. Dan bekom ik dit:
\(E[XY] = \int^1_0 \int^1_x xy10x^2ydydx\)
\(E[XY] = \frac{1}{6}\)
(dit is een foute oplossing)Ik vermoed echter dat de laatste twee integralen normaal dezelfde uitkomst zouden moeten geven (klopt dit vermoeden?), maar dat ik hier dus waarschijnlijk een rekenfoutje gemaakt heb die ik niet meteen vind.
Nu goed: vertrekkend dus van deze voorwaarde:
\(0\leq y\leq x\leq1\)
hoe kan ik zeker weten welke grenzen ik moet gebruiken? Want ik zie zelf geen reden om de ene boven de andere te verkiezen?Bedankt alvast!
