\(f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2: \left(\begin{array}{ccc} x\\y\\z \end{array} \right) \mapsto \ \left(\begin{array}{cc} z\\x \end{array} \right)\)
\(g:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3: \left(\begin{array}{cc} x\\y \end{array} \right) \mapsto \left(\begin{array}{ccc}3x+y\\x+3y \\2x+2y \end{array} \right)\)
De matrixvoorstelling van \(g \circ f\)
t.o.v de kanonieke basisvectoren heb ik bepaald, nl:\( \left(\begin{array}{ccc} 3&0&2 \\1&0&3 \\2&0&2 \end{array} \right)\)
Nu vragen ze om een basis voor de beelruimte van de lineaire afbeelding \(g \circ f\)
te geven. Van dergelijke lineaire afbeelingen zou ik dan een basis voor de kolommenruimte moeten bepalen. Op het eerste zicht zou ik denken dat de basis is:
\(\left< \left(\begin{array}{ccc} 3\\1\\2 \end{array} \right), \left(\begin{array}{ccc} 2\\3\\2 \end{array} \right)\right>\)
De nieuwe afbeelding \(g \circ f\)
lijkt mij gedefinieerd als:\(g \circ f; \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3: \left(\begin{array}{ccc} x\\y\\z \end{array} \right) \mapsto \left(\begin{array}{ccc} 3&0&2 \\1&0&3 \\2&0&2 \end{array} \right) \left(\begin{array}{ccc} x\\y\\z \end{array} \right)\)
Deze afbeelding lijkt me niet surjectief, enderzijds omdat niet de volledige ruimte \(\mathbb{R}^3\)
wordt bereikt, anderzijds omdat de dimensie van de kolommenruimte 2 is en dus \(Im(g \circ f) \neq \mathbb{R}^3\)
Klopt deze uitleg?
.