Imaginaire getallen vereenvoudigen

sjasogun1

Ik heb een wiskundeprobleem waar ik niet uit kom. De opdracht is om de volgende breuk te vereenvoudigen tot de standaardvorm a+bi.

$\frac{x+iy}{x-iy}$

Ik vermenigvuldig deze eerst met

$\frac{x+iy}{x+iy}$

om het imaginaire deel onder weg te werken. Dit mag omdat de noemer en de teller gelijk zijn en de breuk dus 1 is. Vermenigvuldigen met 1 levert hetzelfde getal op, dus deze bewerking mag.

$\frac{x+iy}{x-iy} \cdot \frac{x+iy}{x+iy}$

$\frac{(x+iy)(x+iy)}{(x-iy)(x+iy)}$

$\frac{x^2+ixy+ixy+i^2y^2}{x^2+ixy-ixy-i^2y^2}$

$\frac{x^2+2ixy-y^2}{x^2+y^2}$

Bij deze stap loop ik echter vast. Ik heb geen idee hoe ik die

$x^2+y^2$

weer weg kan krijgen.

Ook is er de opdracht om de volgende vergelijking op te lossen in

$$\mathbb{C}$$

z is overigens geen imaginair getal in de vorm a+bi maar gewoon een onbekende.

$(2z-1)^2=(z+i)^2-2i$

$4z^2-4z+1=z^2+2iz-1-2i$

$4z^2-4z=z^2+2iz-2-2i$

$3z^2-4z-2iz=-2-2i$

$z^2-\frac{4}{3}z-\frac{2}{3}iz=-\frac{2}{3}-\frac{2}{3}i$

En verder dan dat kom ik niet echt. De

$z$

uit

$\frac{4}{3}z-\frac{2}{3}iz$

splitsen om er

$z(\frac{4}{3}-\frac{2}{3}i)$

van te maken helpt me ook niet echt verder.

Typhoner

wat betreft je eerste vraag: er is toch niets mis hiermee? Je kan nu je breuk schrijven als een som van een reëel en een imaginair stuk, dus is hij vereenvoudigd!

sjasogun1

>_< Stom! Dat ik dat nu juist over het hoofd heb gezien

$\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+i\frac{2xy}{x^2+y^2}$

Maar nu de tweede vraag nog. Volgens mij is de enige manier waarop je hier normaal verder kunt de vorm

$ax^2+bx+c=0$

te maken, in dit geval dus

$z^2-z(\frac{4}{3}+\frac{2}{3}i)+(\frac{2}{3}+\frac{2}{3}i)=0$

Ik heb hierna geprobeerd te substitueren, maar volgens wolframalpha doe ik iets niet helemaal goed. Ik heb alleen de stappen voor de positieve oplossing ingevuld omdat het anders een warboel zou worden. Beide oplossingen staan onderaan, samen met de oplossingen die wolframalpha heeft gegeven.

EDIT: Verschijnt niet helemaal goed maar heb nu geen tijd. Pas bericht aan als ik thuis ben.

$(2z-1)^2=(z+i)^2-2i$

$4z^2-4z+1=z^2+2iz-1-2i$

$4z^2-4z=z^2+2iz-2-2i$

$3z^2-4z-2iz=-2-2i$

$z^2-\frac{4}{3}z-\frac{2}{3}iz=-\frac{2}{3}-\frac{2}{3}i$

$z^2-z(\frac{4}{3}+\frac{2}{3}i)+(\frac{2}{3}+\frac{2}{3}i)=0$

substitueer

$\frac{4}{3}+\frac{2}{3}i$

door

$b$

en

$\frac{2}{3}+\frac{2}{3}i$

door

$c$

$(z-\frac{1}{2}b)^2-\frac{1}{4}b^2+c=0$

$(z-\frac{1}{2}b)^2=\frac{1}{4}b^2-c$

$z-\frac{1}{2}b=\sqrt{\frac{1}{4}b^2-c}$

terugplaatsen

$z-\frac{2}{3}-\frac{1}{3}i=\sqrt{\frac{1}{4}(\frac{4}{3}+\frac{2}{3}i)^2-(\frac{2}{3}+\frac{2}{3}i)}$

$z-\frac{2}{3}-\frac{1}{3}i=\sqrt{\frac{1}{4}(\frac{16}{9}+\frac{16}{9}i-\frac{4}{9})-(\frac{2}{3}+\frac{2}{3}i)}$

$z-\frac{2}{3}-\frac{1}{3}i=\sqrt{(\frac{12}{36}+\frac{16}{36}i)-(\frac{2}{3}+\frac{2}{3}i)}$

$z-\frac{2}{3}-\frac{1}{3}i=\sqrt{-\frac{12}{36}-\frac{8}{36}i}$

$z-\frac{2}{3}-\frac{1}{3}i=\sqrt{-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}i}$

$z-\frac{2}{3}-\frac{1}{3}i=\sqrt{\frac{4}{12}-\frac{3i}{12}}$

$z-\frac{2}{3}-\frac{1}{3}i=\sqrt{\frac{4-3i}{12}}$

$z-\frac{2}{3}-\frac{1}{3}i=\frac{\sqrt{4-3i}}{\sqrt{12}}$

$z-\frac{2}{3}-\frac{1}{3}i=\frac{\sqrt{4-3i}}{2\sqrt{3}}$

$z=\frac{\sqrt{4-3i}}{2\sqrt{3}}+\frac{2}{3}+\frac{1}{3}i OR$

$z=-\frac{\sqrt{4-3i}}{2\sqrt{3}}+\frac{2}{3}+\frac{1}{3}i$

Maar wolframalpha geeft

$z=\frac{1}{3}\sqrt{-3-2i}+(2+i) OR$

$z=-\frac{1}{3}\sqrt{-3-2i}+(2+i)$

Waar zit de fout in mijn berekeningen?

Safe

sjasogun1 schreef:Ook is er de opdracht om de volgende vergelijking op te lossen in
$$\mathbb{C}$$
z is overigens geen imaginair getal in de vorm a+bi maar gewoon een onbekende.

$(2z-1)^2=(z+i)^2-2i$

$4z^2-4z+1=z^2+2iz-1-2i$

$4z^2-4z=z^2+2iz-2-2i$

$3z^2-4z-2iz=-2-2i$

$z^2-\frac{4}{3}z-\frac{2}{3}iz=-\frac{2}{3}-\frac{2}{3}i$

Weet je zeker dat de opgave correct is. Je krijgt geen 'mooie' opl. Er zijn natuurlijk wel twee opl.

Wat bedoel je met: "z is overigens geen imaginair getal in de vorm a+bi maar gewoon een onbekende".

z is een complex getal (variabel), element van C. z=a+bi betekent a is reëel en bi is imaginair (b is reëel), waarmee wordt gezegd dat je a op de reële as uitzet en b op de imaginaire as. a=Re(z) en b=Im(z).

sjasogun1

Ik bedoelde inderdaad dat z geen complex getal is maar een gewone onbekende. z hoeft dus niet zelf ook nog uitgewerkt te worden of iets dergelijks. Je zou z, om verwarring te vermijden, beter kunnen vervangen door x, maar zo stond het in de opgave.

Ja, de opgave is correct (ik heb wat met minnetjes en plusjes geschoven in wolframalpha, zonder mooie oplossing als resultaat), maar omdat mijn docent hem zelf op heeft gesteld denk ik dat er een klein foutje in is geslopen. Mijn docent heeft de opgave namelijk met de hand opgesteld, er kan zodoende een klein foutje ingeslopen zijn waardoor het niet meer klopt.

Safe

Ik bedoelde inderdaad dat z geen complex getal is maar een gewone onbekende. z hoeft dus niet zelf ook nog uitgewerkt te worden of iets dergelijks. Je zou z, om verwarring te vermijden, beter kunnen vervangen door x, maar zo stond het in de opgave.

Een complex getal is ook een 'gewoon' getal.

Normaal is, z als variabele te gebruiken bij C, en x bij R.

z hoeft dus niet zelf ook nog uitgewerkt te worden of iets dergelijks.

Geen idee wat je hier bedoelt ...

Wat de opgave betreft ... , aan 't werk.

Er zijn twee opl voor z in C.

Safe

$z-\frac{2}{3}-\frac{1}{3}i=\sqrt{-\frac{12}{36}-\frac{8}{36}i}$

$z-\frac{2}{3}-\frac{1}{3}i=\sqrt{-\frac{12}{36}-\frac{8}{36}i}=\frac 1 3 \sqrt{-3-2i}$

sjasogun1

Ah, bedankt, zo klopt hij inderdaad! Ik ging de fout in door

$\frac{8}{36}i$

te vereenvoudigen tot

$\frac{1}{4}i$

terwijl het

$\frac{2}{9}i$

moest zijn. Dankjewel voor de correctie!

Safe

Maar wat is nu het reële en imaginaire deel van z ...

Hoe moeten we sqrt(-3-2i) begrijpen?

Kan je deze opl in het complexe vlak tekenen?

sjasogun1

De oplossing hoeft bij deze opgave niet in de vorm

$z=a+bi$

gegeven te worden, maar het antwoord is inderdaad vreemd. Wolframalpha geeft ook alleen maar vreemde oplossingen als er wat met de getallen wordt geschoven. Ik heb morgen weer wiskunde, ik zal het dan aan mijn docent vragen, ook ter bevestiging of ik de opgave uberhaupt goed over heb genomen.

clear

$z^2-z(\frac{4}{3}+\frac{2}{3}i)+(\frac{2}{3}+\frac{2}{3}i)=0$

als je de wortels wilt hebben is het dan niet makkelijker om via discriminant te doen?

grtjes,

clear

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Imaginaire getallen vereenvoudigen

Imaginaire getallen vereenvoudigen

Re: Imaginaire getallen vereenvoudigen

Re: Imaginaire getallen vereenvoudigen

Re: Imaginaire getallen vereenvoudigen

Re: Imaginaire getallen vereenvoudigen

Re: Imaginaire getallen vereenvoudigen

Re: Imaginaire getallen vereenvoudigen

Re: Imaginaire getallen vereenvoudigen

Re: Imaginaire getallen vereenvoudigen

Re: Imaginaire getallen vereenvoudigen

Re: Imaginaire getallen vereenvoudigen