\(\{f_1, \cdots, f_n\}\)
een Chebyshevsysteem op [a, b] vormen als elke lineaire combinatie \(\sum_{i=1}^n \alpha_i f_i\)
met \((\alpha_1, \cdots, \alpha_n) \neq (0, \cdots, 0)\)
ten hoogste n-1 nulpunten heeft op [a, b].Toon aan dat
1)
\(\{1, x, x^2, \cdots, x^n, x \log(x), \cdots, x^m \log(x)\}, n \geq m\)
een Cheyshevsysteem is op (0, 1). 2)
\(\{e^{m_1 x}, \cdots e^{m_k x}\}, m_1 < m_2 < \cdots < m_k\)
een Chebyshevsysteem is op \(\rr\)1) Logisch lijkt om zoiets te bewijzen uit het ongerijmde. Stel dus
\(g(x) = \alpha_0 + \alpha_1 x + \cdots + \alpha_n x^n + \alpha_{n + 1} x \log(x) + \cdots + \alpha_{n + m + 1} x^m \log(x)\)
heeft n+m+2 nulpunten. Dan herschrijf je g als \(g(x) = x^n (\frac{1}{x^n} + \cdots + \frac{1}{x} + 1 + \frac{\log(x)}{x^{n-1}} + \cdots + \frac{\log(x)}{x^{n-m}}\)
. Noem nu uw nulpunten x1, ..., xn+m+2. We zien dan dat er \(\bar{x_i} \in (x_{i-1}, x_i)\)
(met x0 = 0) bestaan zodat \(g'(\bar{x_i}) = 0\)
voor alle i. Bovendien is \(g'(x) = (x^n)' (\cdots) + x^n (\cdots)'\)
met op de puntjes die lange uitdrukking 
.Hier stopt mijn inspiratie... Foute weg, of ziet iemand hoe verder te gaan?
2) Ik dacht quasi spontaan aan inductie op het aantal.
