Oplossen van een limiet

Geplaatst op 22 januari 2012 - 17:08

Gevraagd:

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(\frac{2}{5}\sqrt{5} + 1)(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^{n+1} + (1 - \frac{2}{5}\sqrt{5})(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^{n+1} - 1}{(\frac{2}{5}\sqrt{5} + 1)(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^n + (1 - \frac{2}{5}\sqrt{5})(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^n - 1}
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Ik heb deze limiet al in Wolfram Alpha ingevuld en deze geeft

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
\frac{1 + \sqrt{5}}{2}
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

als limiet. Echter werkt de 'show steps'-functie niet, dus ik weet niet hoe ze daarop gekomen zijn.

Ik heb al geprobeerd het ^(n+1)-gedeelte te schrijven als ^n * ^1, maar dat helpt me helaas niet verder:

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(\frac{7}{10}\sqrt{5} + \frac{3}{2})(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^n + (\frac{3}{2} - \frac{7}{10}\sqrt{5})(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^n - 1}{(\frac{2}{5}\sqrt{5} + 1)(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^n + (1 - \frac{2}{5}\sqrt{5})(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^n - 1}
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Als ik dan noemer en teller door een term met n wil delen, kom ik uiteindelijk altijd op 0/0 uit, wat natuurlijk niet de bedoeling is.

Hopelijk kan iemand me op weg helpen. Alvast bedankt!

Veranderd door Fruitschaal, 22 januari 2012 - 17:09

• Terug naar boven

Geplaatst op 22 januari 2012 - 17:21

Schrijf eens

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

, dan wordt je limiet

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
\lim_{n \to \infty} \frac{2 \varphi^{n + 1} - 1}{2 \varphi^n - 1}
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

.

PS: die phi is de golden ratio (gulden snede).

• Terug naar boven

Geplaatst op 22 januari 2012 - 17:26

Schrijf eens

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

, dan wordt je limiet

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
\lim_{n \to \infty} \frac{2 \varphi^{n + 1} - 1}{2 \varphi^n - 1}
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

.

PS: die phi is de golden ratio (gulden snede).

Nee toch? De tweede term in factor in teller en noemer is

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
\frac{1 - \sqrt{5}}{2}
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

en dus niet

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

,

• Terug naar boven

Geplaatst op 22 januari 2012 - 17:27

Ow sorry... Verkeerd gelezen . Hmm, dan moet ik er eens opnieuw naar kijken.

• Terug naar boven

Geplaatst op 22 januari 2012 - 17:39

Je kunt stellen dat

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
\frac{1 - \sqrt{5}}{2} = \varphi - \sqrt{5}
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

. Via het binomium van Newton, kun je dan zien dat

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
(\varphi - \sqrt{5})^k = \varphi^k + f_{k-1}(\varphi)
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

met

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
f_{k-1}(\varphi)
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

een functie van phi met graad k-1. Dan wordt je limiet:

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
\lim_{n \to \infty} \frac{2 \varphi^{n + 1} + C_1 f_{n}(\varphi) - 1}{2 \varphi^n + C_2 f_{n-1}(\varphi) - 1}
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

met C1 en C2 constanten (dat houdt de limiet korter ). Deze kun je nu simpel berekenen?

• Terug naar boven

Geplaatst op 22 januari 2012 - 17:48

Volgens die Wikipediapagina die je gegeven hebt, geldt dat

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
-\frac{1}{\varphi} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

, als

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

. Ik ga nu even kijken of ik misschien ook daarmee verder kom

• Terug naar boven

Geplaatst op 22 januari 2012 - 17:58

• Terug naar boven

Geplaatst op 22 januari 2012 - 18:03

Dat zou je het antwoord waarschijnlijk ook wel geven. Maar met mijn bovenstaande limiet, ben je er toch ook? Of zoek je gewoon een alternatieve manier?

Ik zocht een alternatieve manier, omdat ik niet begrijp hoe je tot die functie gekomen ben. Het binomium van Newton begrijp ik, maar ik zou dat als som noteren. En wat bedoel je met

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
k_n(\varphi)?
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

• Terug naar boven

Geplaatst op 22 januari 2012 - 18:08

Ik zocht een alternatieve manier, omdat ik niet begrijp hoe je tot die functie gekomen ben. Het binomium van Newton begrijp ik, maar ik zou dat als som noteren.

Ik heb ook het binomium toegepast. Alleen heb ik van die som niet één term uitgeschreven, buiten de eerste. Omdat alleen die een phi^k (in ons geval resp. n+1 en n) bevat. Alle andere termen bevatten strikt lagere machten van phi. Zie je dit? Nu noem ik al die termen samen gewoon f (met gepaste index, gewoon zodat je weet welke machten van phi daar in zitten). Je mag ze evengoed uitschrijven, maar dat maakt het alleen maar (onnodig) lastig. Je interesse gaat toch uit naar de hoogste mach (in teller en noemer). Begrijp je wat ik bedoel?

En wat bedoel je met

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
k_n(\varphi)?
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Typfout. Ik heb het aangepast .

• Terug naar boven

Geplaatst op 22 januari 2012 - 19:25

Bedankt voor je inbreng. Het is me gelukt om de limiet te bepalen met gebruik van

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
-\frac{1}{\varphi} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Veranderd door Fruitschaal, 22 januari 2012 - 19:26

• Terug naar boven

Geplaatst op 22 januari 2012 - 19:51

• Terug naar boven