2de afgeleide impliciete functie

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 28-01-'12, 11:04

hwgxx7

Berichten: 232

2de afgeleide impliciete functie

Dag,

ik heb dus een probleem met het vinden van de (correcte) oplossing van volgende functie:

Ik heb reeds de 1ste afgeleide gevonden
f : x -> y :
\(y=(x+y)^{2}+1\)
1ste afgeleide
\(\frac{d(f(x))}{dy}=\frac{2*(x+y)}{1-2*x-2*y}\)
Echter de 2de afgeleide geeft me een incorrectantwoord, volgens m' opgavenbundel. Indien ik WolframAlpha gebruik geeft deze zelfs het statement 'false'...

Terwijl (weerom volgens het opgavenboek) het zou moeten zijn:
\( \frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}}=\frac{2}{(1-2*x*2*y)^{3}}\)
Mijn berekening voorlopig:
\( y'=\frac{2x+2x}{1-2x-2y} => y'(1-2x-2y)=2x+2y => y'(1-2x-2y)-2x-2y=0 => y'-2xy'-2yy'-2x-2y=0\)
Hoe kan ik de laatste vgl. uitwerken ? Hoek dien ik een product met
\( -2*y*y'\)
af te leiden ?

Dankjewel.
Omhoog

Bericht 28-01-'12, 11:13

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: 2de afgeleide impliciete functie

In je notatie zit er nog iets niet goed, daar je soms 'dy' en soms 'dx' zet...

Los daarvan: de afgeleide van y*y' is niet anders dan anders hoor (productregel)... Dus: (y*y')' = y'*y' + y*y''. Kun je hier mee verder?

PS: ik heb de volledige berekening zelf nog niet geprobeerd. Als je er niet uit geraakt nu, zal ik dat eens doen, maar de info is sowieso nuttig :) .
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 28-01-'12, 14:09

hwgxx7

Berichten: 232

Re: 2de afgeleide impliciete functie

Ik heb de correct oplossing gevonden, wat betreft die fout bij de afleiding van de eerste afgeleide: de functie f(x)=y moet idd. worden afgeleid naar de veranderlijke x uiteraard.

Indien gewenst wil ik gerust hier de afleiding ook posten hoor..
Omhoog

Bericht 28-01-'12, 15:05

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: 2de afgeleide impliciete functie

Indien gewenst wil ik gerust hier de afleiding ook posten hoor..
Dat is zowel voor jezelf (wij kunnen het controleren) als voor toekomstige gebruikers met hetzelfde probleem handig meegenomen :) .
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 28-01-'12, 16:00

hwgxx7

Berichten: 232

Re: 2de afgeleide impliciete functie

Nou, dan zal ik dat ff. doen :) :

Ik begin rechtstreek met het resultaat van de 1ste afgeleid, die zal iedereen wel kunnen bepalen.
\( y'=\frac{2x+2y}{1-2x-2y}\)
dit zet ik om naar:
\( y'(1-2x-2y)-2x-2y=y'-2xy'-2yy'-2x-2y=0\)
deze uitdrukking ga ik afleiden naar x:
\(y''-2xy''-2(y')^{2}-2yy''-2-2y'-2y'=0\)
de 2de afgeleide y afzonderen:
\(y''(1-2x-2y)=2+4y'+2(y')^{2}\)
nu vervang je alle
\(y'\)
door
\(\frac{2x+2y}{1-2x-2y}\)
, de eerste afgeleide die ik eerder berekent had

het rechterlid moet nu geheel op noemer
\( (1-2x-2y)^{2}\)
gebracht worden, daarna wordt de telelr volledig uitgewerkt

als dit alles correct wordt uitgevoerd blijft er enkel in het rechterlid de term
\(\frac{2}{(1-2x-2y)^{2}}\)
over

hier verschijnt dan de oplossing voor de 2de afgeleide
\(y''=\frac{2}{(1-2x-2y)^{3}}\)
Bij WolframAlpha wordt deze functie niet afgeleid zoals een impliciete functie dient afgeleid te worden, moet ik daar mss. iets extra bij ingeven/anders ingeven?

grtz
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”