Reele functe vs. complexe funtie

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer

Bericht 12-02-'12, 13:05

hwgxx7

Berichten: 232

Reele functe vs. complexe funtie

Dag,

ik heb volgende functie waarvan ik de nulpunten bepaal:
\(f(x)=3x^{2}+7x+10\)
Deze blijken complex te zijn.

Stel dat ik nu de complexe functie bepaal:
\(f(z)=3z^{2}+7z+10\)
, met z=x+yi.

Dan bestaat deze uit een reele functie een een complexe functie, namelijk:
\(f_{Re}(z)=3x^{2}-3y^{2}+10+7x\)
\(f_{Im}(z)=6ixy+7iy\)
Indien ik de y-component in z gelijk stel aan 0, dus : z=x, dan heb ik een zuiver reele functie. Waarom bekom ik dan nog complexe nulpunten in het reele deel, immers het imaginaire deel is toch 0...?

Dankjewel.
Omhoog

Bericht 12-02-'12, 16:10

Typhoner

Gebruikersavatar
Berichten: 2.455

Re: Reele functe vs. complexe funtie

een (veelterm)functie met alleen maar reële coëfficiënten kan complexe nulpunten hebben, denk maar aan
\(f(z) = z^2 + 4\)
om maar iets te zeggen.

Nu zeg je, laat ons het argument van de functie schrijven als een som van iets reëels en iets imaginair, ok, dat kan. Je zeg dus
\(z = x + iy \text{ met } x, y \in \rr\)
En daar heb je het, je zegt expliciet dat x reëel is, dus zal bijvoorbeeld
\(f(x) = x^2 + 4\)
geen nulpunten hebben.
This is weird as hell. I approve.
Omhoog

Bericht 12-02-'12, 16:54

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Reele functe vs. complexe funtie

hwgxx7 schreef:Dag,

ik heb volgende functie waarvan ik de nulpunten bepaal:
\(f(x)=3x^{2}+7x+10\)
Deze blijken complex te zijn.

Stel dat ik nu de complexe functie bepaal:
\(f(z)=3z^{2}+7z+10\)
, met z=x+yi.

Dan bestaat deze uit een reele functie een een complexe functie, namelijk:
\(f_{Re}(z)=3x^{2}-3y^{2}+10+7x\)
\(f_{Im}(z)=6ixy+7iy\)
Indien ik de y-component in z gelijk stel aan 0, dus : z=x, dan heb ik een zuiver reele functie. Waarom bekom ik dan nog complexe nulpunten in het reele deel, immers het imaginaire deel is toch 0...?

Dankjewel.
Je mag niet (straffeloos) x door z=x+iy vervangen en die met elkaar vergelijken. De eerste x kan complex zijn de tweede x is (per definitie) reëel!
Omhoog

Bericht 15-02-'12, 12:20

hwgxx7

Berichten: 232

Re: Reele functe vs. complexe funtie

De functie
\(f(x)=x^{2}-4=(x+2)(x-2)\)
, deze 2de-graadsfunctie kan ik dus voorstellen als de vermenigvuldiging van 2 rechten:
\(y_{1}=x+2\)
en
\(y_{2}=x-2\)
. Ik kan beide 1ste-graadsfunctie grafisch voorstellen in het XY-vlak.

Maar hoe die ik dit voor een functe
\(f(x)=x^{2}+4\)
?

dankjewel
Omhoog

Bericht 15-02-'12, 12:34

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Reele functe vs. complexe funtie

Indien ik de y-component in z gelijk stel aan 0, dus : z=x, dan heb ik een zuiver reele functie. Waarom bekom ik dan nog complexe nulpunten in het reele deel, immers het imaginaire deel is toch 0...?
Je doet de veronderstelling dat je y gelijk mag stellen aan nul. Die veronderstelling leidt tot een tegenstrijdigheid. Je mag dus y niet gelijk stellen aan nul. Je zal dus moeten veronderstellen dat x=-7/6. Die veronderstelling leidt tot een valide antwoord.
Omhoog

Bericht 15-02-'12, 13:18

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Reele functe vs. complexe funtie

hwgxx7 schreef:De functie
\(f(x)=x^{2}-4=(x+2)(x-2)\)
, deze 2de-graadsfunctie kan ik dus voorstellen als de vermenigvuldiging van 2 rechten:
\(y_{1}=x+2\)
en
\(y_{2}=x-2\)
. Ik kan beide 1ste-graadsfunctie grafisch voorstellen in het XY-vlak.

Maar hoe die ik dit voor een functe
\(f(x)=x^{2}+4\)
?

dankjewel
Het tekenen van grafieken van f(z) is niet mogelijk, waarom eigenlijk?
Omhoog

Bericht 15-02-'12, 13:57

tempelier

Gebruikersavatar
Berichten: 4.320

Re: Reele functe vs. complexe funtie

hwgxx7 schreef:Dag,

ik heb volgende functie waarvan ik de nulpunten bepaal:
\(f(x)=3x^{2}+7x+10\)
Het tekenen van grafieken van f(z) is niet mogelijk, waarom eigenlijk?
Kan wel als men zou kunnen kunnen tekenen in vier dimensies, wij mensen kunnen dat echter niet.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
Omhoog

Bericht 16-02-'12, 11:34

hwgxx7

Berichten: 232

Re: Reele functe vs. complexe funtie

Het tekenen van grafieken van f(z) is niet mogelijk, waarom eigenlijk?
Ik heb met Wolframalpha de functie
\(f(z)=(x+yi)^{2}+4\)
geplot, is dit dan geen 'correcte' voorstelling ervan? Door het samenbrengen van heet reele deel en het imaginiare deel bekome je dan toch grafitsch een complexe functie. Zelfde principe als multivaribele functie, maar nu is een variabele imaginair.

Mvg.
complexe.png
complexe.png (176.16 KiB) 537 keer bekeken
Omhoog

Bericht 16-02-'12, 11:51

tempelier

Gebruikersavatar
Berichten: 4.320

Re: Reele functe vs. complexe funtie

Dat samenbrengen is het probleem beide plaatjes zijn 3-dim voor het samen voegen wordt het dan een 4-dim plaatje.

Dat lijkt me heel lastig voor zo'n functie.

De funktie is ook te zien als een afbeelding van
\(R^2 \rightarrow R^2\)
of
\((x,y) \rightarrow (u,v)\)
Voor een volledig plaatje vereist dit dus vier assen.

PS. Het wordt wel eens 4-dim getekend voor eenvoudige figuren zoals een simplex om de elementen te kunnen tellen.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
Omhoog

Bericht 16-02-'12, 13:57

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Reele functe vs. complexe funtie

Ik heb met Wolframalpha de functie
\(f(z)=(x+yi)^{2}+4\)
geplot, is dit dan geen 'correcte' voorstelling ervan?


Kan je me vertellen hoe je naar de twee 'plaatjes' kijkt? Maw hoe vindt je het beeld van een zeker punt (x,y).
Omhoog

Bericht 17-02-'12, 18:34

hwgxx7

Berichten: 232

Re: Reele functe vs. complexe funtie

Als x en y zijn gekend, kan je deze invullen in het reele deel en het imaginaire deel. Dan bekom je de dus 2 functiewaarden. Vindt het nogal abstract om me er een voorstelling van te knn. maken

Bij wolframalpha verschijnt er ook een contourplot..Is dit dan een soort grafiek om het visueler te maken?

Mvg.
Omhoog

Bericht 17-02-'12, 19:15

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Reele functe vs. complexe funtie

hwgxx7 schreef:Als x en y zijn gekend, kan je deze invullen in het reele deel en het imaginaire deel. Dan bekom je de dus 2 functiewaarden. Vindt het nogal abstract om me er een voorstelling van te knn. maken

Bij wolframalpha verschijnt er ook een contourplot..Is dit dan een soort grafiek om het visueler te maken?

Mvg.
Dat is nu precies wat ik bedoel, je moet naar dit soort plaatjes 'leren' kijken.

Dat geldt ook voor de contourplot.
Omhoog

Bericht 18-02-'12, 12:13

hwgxx7

Berichten: 232

Re: Reele functe vs. complexe funtie

Ik verwar de grafiek van de hele (complexe) functie, met de aparte grafiekjes van de reele en imaginaire functie. Ze bij gewoon elkaar optellen (dus de functiewaarden) is dus fout.

Oké, dankjewel voor de antwoorden.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Analyse en Calculus”