Cosinusregel

hwgxx7

Dag,

ik heb m'n twijfels over ene formule die in m'n cursus mechanica wordt gehanteerd. Deze formule gebruikt het begrip cosinus uit de vectorruimte om een verband te geven tss. de 3 zijden van een willekeurige driehoek.

formule:

\(\vert\vert\overrightarrow{P}-\overrightarrow{Q}\vert\vert^{2} = \vert\vert\overrightarrow{P}\vert\vert^{2} +\vert\vert\overrightarrow{Q}\vert\vert^{2}-2.\vert\vert\overrightarrow{P}\vert\vert.\vert\vert\overrightarrow{Q}\vert\vert.cos(\theta)\)

Echter begrijp ik het linkerlid niet, moet dit niet + zijn , ipv. - ? Immers de norm van de optelling van vectoren P en Q geeft tot het veband tussen R,P en Q?

\( \overrightarrow{R}=\overrightarrow{P}+\overrightarrow{Q}\)

Mvg.

: cosrtegel.png (5.03 KiB) 633 keer bekeken

tempelier

hwgxx7 schreef:Dag,

ik heb m'n twijfels over ene formule die in m'n cursus mechanica wordt gehanteerd. Deze formule gebruikt het begrip cosinus uit de vectorruimte om een verband te geven tss. de 3 zijden van een willekeurige driehoek.

formule:
\(\vert\vert\overrightarrow{P}-\overrightarrow{Q}\vert\vert^{2} = \vert\vert\overrightarrow{P}\vert\vert^{2} +\vert\vert\overrightarrow{Q}\vert\vert^{2}-2.\vert\vert\overrightarrow{P}\vert\vert.\vert\vert\overrightarrow{Q}\vert\vert.cos(\theta)\)
Echter begrijp ik het linkerlid niet, moet dit niet + zijn , ipv. - ? Immers de norm van de optelling van vectoren P en Q geeft tot het veband tussen R,P en Q?

\( \overrightarrow{R}=\overrightarrow{P}+\overrightarrow{Q}\)
Mvg.

[attachment=9565:cosrtegel.png]

Hij is goed hoor:

\(\vert\vert\overrightarrow{P}-\overrightarrow{Q}\vert\vert^{2}\)

representeert als het ware gewoon de derde zijde PQ

Immers:

\(\Bigl[ \overrightarrow{P}- \overrightarrow{Q}\Bigr] + \overrightarrow{Q} = \overrightarrow{P}\)

Safe

Teken een voor jou bekende driehoek en pas de formule toe ... , misschien geeft je dat 'vertrouwen' in de formule.

hwgxx7

Ik moet trouwens een correctie doorgeven: in m'n cursus mechanica stelt men de cosinus regel als volgt voor:

\(R^{2}=P^{2}+Q^{2}-2.Q.P.cos(\theta)\)

Ik heb deze formule reeds gebruikt en geeft correcte waarden.

Volgens de formule uit de vectorruimten:

\(\vert\vert\overrightarrow{P}-\overrightarrow{Q}\vert\vert^{2} = \vert\vert\overrightarrow{P}\vert\vert^{2} +\vert\vert\overrightarrow{Q}\vert\vert^{2}-2.\vert\vert\overrightarrow{P}\vert\vert.\vert\vert\overrightarrow{Q}\vert\vert.cos(\theta)\)

Ik zie niet in hoe beide linkerleden verschillend knn. zijn, terwijl de rechterleden hetzelfde zijn?

\(\overrightarrow{R}^{2}=(\overrightarrow{P}+\overrightarrow{Q})^{2}\)

, dit is vectorieel toch verschillend van

\(\vert\vert\overrightarrow{P}-\overrightarrow{Q}\vert\vert^{2}\)

Mvg.

tempelier

Dit is gewoon onjuist:

\(\overrightarrow{R}=\overrightarrow{P}+\overrightarrow{Q}\)

De derde zijde van de driehoek heeft niet de lengte van som vektor.

Safe

hwgxx7 schreef:Ik moet trouwens een correctie doorgeven: in m'n cursus mechanica stelt men de cosinus regel als volgt voor:

\(R^{2}=P^{2}+Q^{2}-2.Q.P.cos(\theta)\)
Ik heb deze formule reeds gebruikt en geeft correcte waarden.

Volgens de formule uit de vectorruimten:
\(\vert\vert\overrightarrow{P}-\overrightarrow{Q}\vert\vert^{2} = \vert\vert\overrightarrow{P}\vert\vert^{2} +\vert\vert\overrightarrow{Q}\vert\vert^{2}-2.\vert\vert\overrightarrow{P}\vert\vert.\vert\vert\overrightarrow{Q}\vert\vert.cos(\theta)\)
Ik zie niet in hoe beide linkerleden verschillend knn. zijn, terwijl de rechterleden hetzelfde zijn?

\(\overrightarrow{R}^{2}=(\overrightarrow{P}+\overrightarrow{Q})^{2}\)
, dit is vectorieel toch verschillend van
\(\vert\vert\overrightarrow{P}-\overrightarrow{Q}\vert\vert^{2}\)

Mvg.

Een formule geven zonder de betekenis van de 'letters' heeft geen enkele zin ...

hwgxx7

Wow, zie ik er dan zo over

Ik zal me ff. verduidelijken om tegenstrijdigheden op te helderen, want ben nogal 'wirwarrig' bezig..

Het gaat dus over volgende figuur:

: cosrtegel.png (5.03 KiB) 633 keer bekeken

Ik mag toch stellen dat voor de vectoren geldt:

\( \overrightarrow{R}=\overrightarrow{P}+\overrightarrow{Q}\)

?

Vector Q is horizontaal en vector P is verticaal, als ik de x en y componenten apart optel kom ik toch uit bij vector R (rood).

Zo ja, dan mag ik tch schrijven dat:

\(\vert\vert\overrightarrow{P}+\overrightarrow{Q}\vert\vert^{2}\)

=

\(\overrightarrow{R}^{2}\)

In de mechanica zag ik dan hetvolgende:

\(\overrightarrow{R}^{2}=\overrightarrow{P}^{2}+\overrightarrow{Q}^{2}-2.\overrightarrow{P}.\overrightarrow{Q}.cos(\theta)\)

Hieruit besluit ik dan dat:

\(\vert\vert\overrightarrow{P}+\overrightarrow{Q}\vert\vert^{2}=\vert\vert\overrightarrow{P}\vert\vert^{2}+\vert\vert\overrightarrow{Q}\vert\vert^{2}-2.\vert\vert\overrightarrow{P}\vert\vert.\vert\vert\overrightarrow{Q}\vert\vert.cos(\theta)\)

Ik zie wrs. iets fundamenteels over het hoofd, maar ik vindt het niet...

Mvg.

tempelier

Nee de R die daar staat wordt niet bedoeld in de oorspronkelijk formule

De R die ze bedoelen is het lijnstuk dat de eindpunten van P en Q verbindt.

Het beste is zoals al is aangeraden de Driehoek PQR eens even te schetsen en daar P , Q en R in aan te geven.

De opgave is wat ongelukkig gebracht het is de gewoonten de zijden van een driehoek in kleine leters te geven en niet in hoofdletters zoals hier is gebeurd.

aadkr

\(\vert\vert \vec{P}\vert\vert ^2=\vert\vert \vec{R}\vert\vert ^2+\vert\vert \vec{Q}\vert\vert^2 -2. ...\)

hwgxx7

Ik heb het intussen (mechanica) kunnen oplossen, maar ik heb wel nog een kleine bedenking. Als ik 2 orthogonale vectoren (x en y) heb dan kan ik stellen dat:

\(\vert\vert\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\vert\vert^{2}=\vert\vert\overrightarrow{x}\vert\vert^{2}+\vert\vert\overrightarrow{y}\vert\vert^{2}-2.\vert\vert\overrightarrow{x}\vert\vert.\vert\vert\overrightarrow{u}\vert\vert.cos(\theta)\)

Maar ik kan ook hiervoor hetvolgende schrijven:

\(\vert\vert\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}\vert\vert^{2}=\vert\vert\overrightarrow{x}\vert\vert^{2}+\vert\vert\overrightarrow{y}\vert\vert^{2}+2.\vert\vert\overrightarrow{x}\vert\vert.\vert\vert\overrightarrow{y}\vert\vert.cos(\theta)\)

Beide beide vormen is de cosinusterm = 0 , welke vorm is dan de correct vorm die moet worden toegepast?

Mvg.

Safe

Ga nu eens uit van de cos-regel in een drh ABC, we noemen de lengtes a, b en c. Je kent de hoek tussen de zijden a en b en de lengtes a en b. Wat is de lengte c via de cos-regel.

hwgxx7

De lengte van de rechte c dmv. cosinusformule wordt dan:

\(c^{2}=a^{2}+b^{2}-2.a.b.cos(\theta)\)

: cosrtegel.png (2.79 KiB) 635 keer bekeken

Safe

Mooi, dit is correct.

Noem nu het snijpunt van a en b punt O. Kies a en b nu als vectoren en druk c uit in de vectoren a en b.

hwgxx7

\(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AB}\)

Safe

\(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AB}\)

Dus:

\(-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AB}\)

of:

\(-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}\)

Ga nu terug naar de cos-regel ...

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Cosinusregel

Cosinusregel

Re: Cosinusregel

Re: Cosinusregel

Re: Cosinusregel

Re: Cosinusregel

Re: Cosinusregel

Re: Cosinusregel

Re: Cosinusregel

Re: Cosinusregel

Re: Cosinusregel

Re: Cosinusregel

Re: Cosinusregel

Re: Cosinusregel

Re: Cosinusregel

Re: Cosinusregel