Ik probeer de volgende ''stelling'' te bewijzen:
Gegeven zijn een functie f:
\($\mathbb{R}^n$\)
-> \($\mathbb{R}^p$\)
, en een punt a \( \in \)
\($\mathbb{R}^n$\)
. Met lim x->a bedoelen we dat er een b \( \in \)
\($\mathbb{R}^p$\)
bestaat zo dat lim x->a f(x) = b.Bewijs: als lim x-> a f(x) bestaat, dan bestaat er voor elke
\( \epsilon \)
>0 een \( \delta \)
> 0 zodat voor alle x, y \( \in \)
\($\mathbb{R}^n$\)
geldt:x, y
\( \in \)
Dom (f) \( \cap \)
B(a ; \( \delta \)
) \( \Rightarrow \)
d(f(x), f(y)) < \( \epsilon \)
Mijn uitwerking:Stel dat het lim x->a f(x) = b. Dan weten we dat er een
\( \delta \)
> 0 bestaat zodat |f(x) - b| < \( \epsilon \)
/2.d(f(x), f(y)) = |f(x) - f(y)| = |(f(x) - b) + (b - f(y)|
\( \leq \)
|(f(x) - b)| + |b - f(y)| = |f(x) - b| + |f(y) - b| < \(\epsilon \)
/2 + |f(y) - b| Als ik kan laten zien dat |f(y) - b| <
\( \epsilon \)
/2 is dan ben ik klaar. Alleen zie ik niet in hoe ik dit moet doen? Ik weet dat y y \( \in \)
Dom (f) \( \cap \)
B(a ; \( \delta \)
) dus f(y) \( \in \)
(f(Dom (f) \( \cap \)
B(a ; \( \delta \)
)). Kan ik hier zomaar uit concluderen dat |f(y) - b| < \(\epsilon \)
/2?
... Kun je daar niets mee?