Vrij deel van een lineaire ruimte

Shark

De stelling:

Zij V een lineaire ruimte over F en S een vrij deel van V, waarvoor geldt dat V\span(S) niet-ledig is. Dan is, voor elke vector vV\span(S) de verzameling S unie {v} eveneens een vrij deel van V.

Wanneer ik dit wil testen op R³ en ik S = {e1,e2} neem. Met e1(1,0,0) en e2(0,1,0), dan spannen die het XY-vlak op.

Dus V\span(S) zou dan alles buiten dat vlak zijn. Hoe kan dan de verzameling buiten dit vlak dan een deelverzameling zijn van V?

mvg Shark

Shark

En dan zou ik er nog graag het volgende aan willen toevoegen:

Afbeelding

Is de gelijkheid van beide niet eerder het juiste teken? Hoe kan een voortbrengend deel, dat gans verzameling V kan voortbrengen, nu buiten de opgespannen ruimte van je basisvectoren liggen?

Na een eindig aantal stappen zou je toch S moeten bekomen = B en span(S)=span(B)=span(T) ?

Shark.

TD

Shark schreef:Wanneer ik dit wil testen op R³ en ik S = {e1,e2} neem. Met e1(1,0,0) en e2(0,1,0), dan spannen die het XY-vlak op.

Dus V\span(S) zou dan alles buiten dat vlak zijn. Hoe kan dan de verzameling buiten dit vlak dan een deelverzameling zijn van V?

V is in dit geval R³. Als je het xy-vlak weghaalt uit R³, dan hou je toch nog steeds een deelverzameling (maar uiteraard geen lineaire deelruimte!) van V over...?

Je tweede vraag is me niet helemaal duidelijk.

Shark

i) Het eerste had ik ook niet volledig juist geformuleerd. Er moest staan:

"Hoe kan dan de verzameling buiten dit vlak een vrij deel zijn van V?"

Ik vind het raar dat die deelverzameling ({v} genoteerd) dan een vrij deel van V is. Maar ook u zegt nu dat het geen lineaire ruimte (vrij) is ... dan zit ik even vast. Of staat {v} niet voor die resterende ruimte dan?

ii) Er wordt gewerkt over F.

iii) De tweede vraag:

Bij het herformuleren van de vraag valt me in dat ik T verwisselde met span(T)

Het is toch wel juist dat uiteindelijk span(T) = span(S) = span(B)? Dan versta ik het plaatje denk ik.

TD

Shark schreef:i) Het eerste had ik ook niet volledig juist geformuleerd. Er moest staan:

"Hoe kan dan de verzameling buiten dit vlak een vrij deel zijn van V?"

Maar dat is niet wat er staat, je past het fout toe op je voorbeeld. In de stelling wordt aan het vrij deel S precies één vector uit V\span(S) (en niet heel de deelverzameling V\span(S) !) toegevoegd aan S. Aangezien die vector buiten span(S) lag, is de unie van S met die vector nog steeds vrij.

Shark schreef:iii) De tweede vraag:

Bij het herformuleren van de vraag valt me in dat ik T verwisselde met span(T)

Het is toch wel juist dat uiteindelijk span(T) = span(S) = span(B)? Dan versta ik het plaatje denk ik.

Ja, behalve dat je niet (de oorspronkelijke) S bedoelt, maar de geschikte S_k die ontstaat door de beschreven constructie (S is namelijk niet noodzakelijk voortbrengend voor V, B per definitie wel en T ook, wegens gegeven).

Shark

i)

Ja dan versta ik definitie wel en kan ik hem ook direct linken aan die afbeelding. Hier is die vector niet persé een basisvector.

Dus ik herformuleer:

Wanneer we dus een vector uit R³ toevoegen aan S, die niet tot span({e1,e2}) behoort en niet e3 is. Dan wordt die verzameling S toch nog het vrij deel van S genoemd.

ii) De afbeelding:

Dus er wordt gezegd dat: Als er nog elementen van T zijn, die niet tot span(S) behoren. Dan kunnen we een vector van T aan het vrij deel S toevoegen. Dit mag omdat de elementen uit T, buiten span(S) liggen en dus lineair onafhankelijk van span(S) zijn. Er kunnen geen lineaire combinaties van gevormd worden.

Omdat er in T enkel basisvectoren zitten van de ruimte V, zal S uiteindelijk een basis vormen van V. Sk = B = T uiteindelijk.

TD

Shark schreef:i)

Ja dan versta ik definitie wel en kan ik hem ook direct linken aan die afbeelding. Hier is die vector niet persé een basisvector.

Dus ik herformuleer:

Wanneer we dus een vector uit R³ toevoegen aan S, die niet tot span({e1,e2}) behoort en niet e3 is. Dan wordt die verzameling S toch nog het vrij deel van S genoemd.

Ik begrijp niet waarom je je focust op e3, het heeft niets te maken met die derde basisvector. Eender welke vector x uit R³ die niet in het xy-vlak ligt, behoort niet tot span{e1,e2}, die span is immers precies het xy-vlak. Een dergelijke vector x kan je dus toevoegen aan {e1,e2} (niet aan de span ervan!) om een vrij deel te behouden (dus {e1,e1,x}). Die x kan toevallig e3 zijn, maar ook eender welke andere vector uit R³\span{e1,e2}.

Omdat er in T enkel basisvectoren zitten van de ruimte V, zal S uiteindelijk een basis vormen van V. Sk = B = T uiteindelijk.

Nee, in T zitten niet enkel basisvectoren: van T is immers enkel gegeven dat span(T) = V, niet dat T ook vrij is (T is dus niet noodzakelijk een basis, het kan 'te veel' vectoren bevatten -> T is mogelijk een lineair afhankelijk stel).

Je moet het dus zo zien: T is voortbrengend (zeker genoeg vectoren, misschien te veel om basis van V te zijn) en S is zeker vrij (zeker niet te veel vectoren, misschien te weinig om basis van V te zijn). Er bestaat dus een basis 'tussen' S en T, ik bedoel: groter dan of gelijk aan S en kleiner dan of gelijk aan T; namelijk net voldoende maar ook geen enkele vector te veel. Je moet met andere woorden vectoren uit T schrappen en/of vectoren aan S toevoegen om een basis B te bekomen.

Shark

Die uitleg is me zeer helder! Bedankt TD

TD

Oké, graag gedaan!

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Vrij deel van een lineaire ruimte

Vrij deel van een lineaire ruimte

Re: Vrij deel van een lineaire ruimte

Re: Vrij deel van een lineaire ruimte

Re: Vrij deel van een lineaire ruimte

Re: Vrij deel van een lineaire ruimte

Re: Vrij deel van een lineaire ruimte

Re: Vrij deel van een lineaire ruimte

Re: Vrij deel van een lineaire ruimte

Re: Vrij deel van een lineaire ruimte