Kan iemand mij helpen met de volgende vraag:
de rij {an} wordt gegeven door:
a1=0, an+1=wortel(1+2an), n=1,2,3,....
Toon met behulp van van volledige inductie aan dat de rij {an} stijgend is.
Zelf had ik bedacht dat als hij stijgend is, geldt:
an+1 > an
en dus wortel(1+2an) > an
verder loop ik helemaal vast.
Laatste berichten
-
22:27
positie 1
-
21:34
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 8
-
21:15
Weerfrustratie 9
-
18:24
Schroefdraad berekening 5
-
18:08
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 15
-
14:16
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 7
-
14:16
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
13:57
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
-
10:42
projectiel 8
-
10:37
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
09:25
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
22 apr
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
22 apr
Rotatie van het heelal 41
-
22 apr
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
-
21 apr
speciale rel. theorie 5
-
21 apr
Vogels in de stad zijn goede klussers
-
21 apr
Ervaringen met "herontdekkingen" 15
-
20 apr
Herleiden afmetingen vanaf een foto 19
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Volledige inductie
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 10.179
Re: Volledige inductie
Begin al eens met te zeggen wat (volledige) inductie is, en vertaal het naar deze situatie.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 112
Re: Volledige inductie
Stel {P(n)} is de uitspraak die bewezen moet worden. Als bewezen wordt dat:
1. P(n) is waar, met n het kleinst mogelijke getal dat ingevoerd kan worden.
2. P(n+1) is waar, ervan uitgaande dat P(n) waar is.
Dan is {P(n)} waar voor elke n.
Bewijs:
1. n=1:
a2 = wortel(1+(2*0)) = 1
1>0, dus het klopt.
En verder kom ik niet echt.
1. P(n) is waar, met n het kleinst mogelijke getal dat ingevoerd kan worden.
2. P(n+1) is waar, ervan uitgaande dat P(n) waar is.
Dan is {P(n)} waar voor elke n.
Bewijs:
1. n=1:
a2 = wortel(1+(2*0)) = 1
1>0, dus het klopt.
En verder kom ik niet echt.
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Volledige inductie
En wat is P(n) in dit geval ?
Bepaal ook a2 en a3 ...
Bepaal ook a2 en a3 ...
-
- Berichten: 112
Re: Volledige inductie
P(n) = an+1 > an
a2 = 1
a3 = wortel(3)
Kan ik niet het volgende doen?
2. (We nemen aan dat P(n) klopt.)
n+2:
an+2 > an+1
wortel(1+2an+1) > wortel(1+2an)
dit kan omgeschreven worden tot
wortel(1+2an) > an
=
an+1 > an
dus bewezen.
a2 = 1
a3 = wortel(3)
Kan ik niet het volgende doen?
2. (We nemen aan dat P(n) klopt.)
n+2:
an+2 > an+1
wortel(1+2an+1) > wortel(1+2an)
dit kan omgeschreven worden tot
wortel(1+2an) > an
=
an+1 > an
dus bewezen.
-
- Berichten: 7.068
Re: Volledige inductie
Ik zie niet helemaal wat je doet, maar waarom niet zo?
\(a_{n+1} > a_n\)
\(2 a_{n+1} > 2 a_n\)
\(1+2 a_{n+1} > 1+2 a_n\)
\(\sqrt{1+2 a_{n+1}} > \sqrt{1+2 a_n}\)
\(a_{n+2} > a_{n+1}\)
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Volledige inductie
2. (We nemen aan dat P(n) klopt.) Dus onder het gegeven dat an+1 > an, te bewijzen an+2 > an+1Nesta schreef:P(n) = an+1 > an
a2 = 1
a3 = wortel(3)
Kan ik niet het volgende doen?
2. (We nemen aan dat P(n) klopt.)
n+2:
an+2 > an+1
wortel(1+2an+1) > wortel(1+2an)
dit kan omgeschreven worden tot
wortel(1+2an) > an
=
an+1 > an
dus bewezen.
n+2:
an+2 =wortel(1+2an+1) > wortel(1+2an)=an+1 Klaar!
dit kan omgeschreven worden tot
wortel(1+2an) > an
=
an+1 > an Dit is je gegeven
Graag je commentaar.
Wat moet je verder bewijzen?
-
- Berichten: 112
Re: Volledige inductie
Ik snap niet zo goed wat je bedoeld te zeggen. Wat precies klopt niet wat ik gedaan heb?Safe schreef:2. (We nemen aan dat P(n) klopt.) Dus onder het gegeven dat an+1 > an, te bewijzen an+2 > an+1
n+2:
an+2 =wortel(1+2an+1) > wortel(1+2an)=an+1 Klaar!
dit kan omgeschreven worden tot
wortel(1+2an) > an
=
an+1 > an Dit is je gegeven
Graag je commentaar.
Wat moet je verder bewijzen?
Dit lijkt inderdaad wel te kloppen!EvilBro schreef:Ik zie niet helemaal wat je doet, maar waarom niet zo?
\(a_{n+1} > a_n\)\(2 a_{n+1} > 2 a_n\)\(1+2 a_{n+1} > 1+2 a_n\)\(\sqrt{1+2 a_{n+1}} > \sqrt{1+2 a_n}\)\(a_{n+2} > a_{n+1}\)
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Volledige inductie
[quote='Nesta' date='25 February 2012, 13:48' post='720600']
Ik snap niet zo goed wat je bedoeld te zeggen. Wat precies klopt niet wat ik gedaan heb?
/quote]
Ik heb niet gezegd dat er iets niet klopte. Ik miste de logische stappen.
Je gegeven: ...
Wat wil je aantonen: ...
Je eindigt met je gegeven, dat is merkwaardig ...
Je zou moeten eindigen met: dus blijkt a_(n+2)>a_(n+1)
En Evilbro doet het je voor.
Ik snap niet zo goed wat je bedoeld te zeggen. Wat precies klopt niet wat ik gedaan heb?
/quote]
Ik heb niet gezegd dat er iets niet klopte. Ik miste de logische stappen.
Je gegeven: ...
Wat wil je aantonen: ...
Je eindigt met je gegeven, dat is merkwaardig ...
Je zou moeten eindigen met: dus blijkt a_(n+2)>a_(n+1)
En Evilbro doet het je voor.
-
- Berichten: 7.068
Re: Volledige inductie
Zo merkwaardig vind ik dat niet. Als je begint met het te bewijzen en je kunt een logisch pad vinden naar hetgeen is gegeven dan is dat natuurlijk ook prima.Je eindigt met je gegeven, dat is merkwaardig ...
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Volledige inductie
@Nesta.
Start eens met a_0=3, a_1= ... , enz.
Wat merk je op?
Kan je dat bewijzen?
Start eens met a_0=3, a_1= ... , enz.
Wat merk je op?
Kan je dat bewijzen?
-
- Berichten: 112
Re: Volledige inductie
Ik mag de stelling dat an+1 > an gebruiken bij het bewijzen van an+2 > an+1. Dus als ik het dan naar de stelling terug kan leiden moet het wel kloppen.Safe schreef:Ik heb niet gezegd dat er iets niet klopte. Ik miste de logische stappen.
Je gegeven: ...
Wat wil je aantonen: ...
Je eindigt met je gegeven, dat is merkwaardig ...
Je zou moeten eindigen met: dus blijkt a_(n+2)>a_(n+1)
En Evilbro doet het je voor.
Dus
Mijn gegeven: an+1 > an
Te bewijzen: an+2 > an+1
Het te bewijzen blijkt hetzelfde te zijn als het gegeven, dus dan moet het wel kloppen.
Ik dacht alleen dat het misschien dubbel was wat ik deed, daarom heb ik het ook hier gepost.
Overigens zou ik inderdaad moeten eindigen met "dus an+2 > an+1", ik was een beetje slordig.
Toch vind ik de manier van Evilbro mooier
-
- Berichten: 10.179
Re: Volledige inductie
Overigens zou ik inderdaad moeten eindigen met "dus an+2 > an+1",
Evilbro eindigt toch ook zo? Overigens verschillen jouw oplossing en zijn oplossing niet zo heel erg veel van elkaar, hoor. Je kunt alleen beargumenteren dat het logischer is om te beginnen met je gegeven en naar het te bewijzen toe te werken. Maar het te bewijzen herleiden tot het gegeven, is ook goed. Alleen moet je je bij elke stap er goed bewust van zijn waarom je hem mag zetten. Bijvoorbeeld: waarom mag je uit a>b, besluiten datToch vind ik de manier van Evilbro mooier
(a) > (b)?Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 4.246
Re: Volledige inductie
\( a>b>0 \)
\((a-b)>0\)
\((\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})>0\)
we weten dat: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}>0 \)
omdat a>b>0 maar dan moet er gelden:
\(\sqrt{a}-\sqrt{b}>0 => \sqrt{a}>\sqrt{b}\)
Quitters never win and winners never quit.
