Bewijs tweede driehoeksongelijkheid

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 29-02-'12, 17:53

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Bewijs tweede driehoeksongelijkheid

Wanneer ik de tweede driehoeksongelijkheid wil bewijzen:

Voor alle a,b ∈ R is ||a| - |b| ≤ |a-b|

Dus even snel het bewijs (zonder de mooie opmaak):

a = a - b + b

|a| = |(a-b) + b| ≤ |a-b| + |b| ( eerste driehoeksongelijkheid)

Hieruit volgt dat

|a| - |b| ≤ |a-b|

Mag ik hier dan gewoon nog eens aan beide kanten de absolute waarden nemen ?

zodat:

||a| - |b|| ≤ |a-b| [ = ||q-b|| ]

Bij gewone getallen mag ik dit natuurlijk niet doen, maar hier dus wel omdat er toch

onderlinge verbanden zijn ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 29-02-'12, 18:01

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Bewijs tweede driehoeksongelijkheid

|a| = |(a-b) + b| ≤ |a-b| + |b| ( eerste driehoeksongelijkheid)
Doe hetzelfde eens met: |b|
Omhoog

Bericht 29-02-'12, 18:58

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Bewijs tweede driehoeksongelijkheid

b = b - a + a

|b| = |(b-a) + a| ≤ |b-a| + |a| ( eerste driehoeksongelijkheid)

Hieruit volgt dat

|b| - |a| ≤ |b-a|

en dan heb ik natuurlijk ook nog:

|a| - |b| ≤ |a-b|

Maar hoe moet het dan verder ? ik zie het nog steeds niet.

Maar de rechterleden zijn hetzelfde, toch ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 29-02-'12, 19:05

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Bewijs tweede driehoeksongelijkheid

|b| - |a| ≤ |b-a| =>- (|a|-|b|) ≤ |a-b|
Omhoog

Bericht 29-02-'12, 19:14

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Bewijs tweede driehoeksongelijkheid

|b| - |a| ≤ |b-a| =>- (|a|-|b|) ≤ |a-b|


Sorry, maar hoe moet dit mij verder helpen ? Misschien ligt het aan mij want ik zie het nog steeds niet. :)
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 01-03-'12, 16:34

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Bewijs tweede driehoeksongelijkheid

Biesmansss schreef:|b| - |a| ≤ |b-a|

en dan heb ik natuurlijk ook nog:

|a| - |b| ≤ |a-b|
Uiteraard is |b-a| = |a-b|, dus je hebt hier twee ongelijkheden, van de vorm:

x ≤ k

-x ≤ k

Dus geldt ook |x| ≤ k.

Hier is x = |b|-|a| en k = |a-b| (= |b-a|).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 01-03-'12, 16:55

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Bewijs tweede driehoeksongelijkheid

Aha, nu snap ik het wel volledig.

Hartelijk dank voor de hulp !
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 01-03-'12, 16:57

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Bewijs tweede driehoeksongelijkheid

Sorry, maar hoe moet dit mij verder helpen ? Misschien ligt het aan mij want ik zie het nog steeds niet. :)
Bedenk eens wat betekent: |x|<5? Teken dit ook op een getallenlijn.
Omhoog

Bericht 01-03-'12, 16:58

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Bewijs tweede driehoeksongelijkheid

Biesmansss schreef:Aha, nu snap ik het wel volledig.

Hartelijk dank voor de hulp !
Graag gedaan.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”