ik heb een kleine opgave waarvan ik niet zeker weet of ze kloppen, kan iemand mij misschien corrigeren op de eventuele fouten die ik maak met mijn antwoorden? Het enige eigenlijk wat ik hoef te doen is te zeggen of de volgende statements kloppen.
a) The conditional probability of A, given B, must be at least as large as the probability of A.
False, omdat
\(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)
, \(P(A \cap B) \leq P(B)\)
, \(P(A \cap B) \leq P(A)\)
. \(P(A \cap B)\)
kan maximaal zo groot zijn als \(A\)
door de definitie van intersectie, dus kan het niet groter zijn dan \(A\)
.b) An event must be independent of its complement.
False,
\(P(A) \cdot P(\neg A) = P(A \cap \neg A)\)
. Aangezien de complement bij elkaar geen intersectie heeft, dus kan ik het herschrijven als \(P(A) \cdot (1 - P(A)) = 0\)
. Dit kan ik oplossen door \(P(A) - P(A)^{2} = 0\)
, \(P(X) = 0\)
of \(P(X) = 1\)
.c) The probability of A, given B, must be at least as large as the probability of the intersection of A and B.
True, aangezien
\(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)
is, en we weten dat \(P(B) \leq 1\)
, dus moet \(P(A|B)\)
op z'n minst zo groot zijn als \(P(A \cap B)\)
.d) The probability of the intersection of two events cannot exceed the product of their individual probabilities.
True, want als ze afhankelijk van elkaar zijn, dan is de kans van de intersectie minder. (Notitie: ik zou alleen niet weten hoe ik dit algebraïsch kan tonen
).e) The posterior probability of any event must be at least as large as its prior probability.
False, ik kan helaas geen algebraisch voorbeeld geven. Ik denk dat je een overschatting kan maken of onderschatting. Of zie ik de stelling helemaal verkeerd?
Alvast bedankt!
