Matrix van de afgeleide van een polynoom

flurrie

Beste allen,

Ik heb het volgende gegeven gekregen:

De afbeelding D van de vectorruimte R [x] van polynomen met reele coefficienten naar zichzelf is gegeven door de gebruikelijke diferentatieregels, dus D(f(x)) = f'(x) de afgeleide van f.

Nu is de vraag, als we kijken naar polynomen met graad ten hoogste n, wat is dan het beeld en wat is de kern van D? En wat is de matrix M tov een basis voor R[x] met graad ten hoogste n?

Nu ben ik eerst gaan kijken naar een basis en matrix.

de basis lijkt me gewoon: (a0, a1x, a2x^2, ..... , anx^n)

En wanneer dit gediferentieerd wordt krijg je dus: (0,a1,2*a2*x,..... n*an*x^(n-1) )

Dus als matrix krijg je dan toch een enkele rij die elke ai*x^i vermenivuldigt met i en deelt door x?

dus M = (0, 1/x , 2/x,..., n/x) ?

Ik vraag me af of ik hier mee op de goede weg zit of dat ik iets totaal fout doe.

groetjes,

Fleur

ps. sorry ik wist niet hoe ik de formules er beter uit kon laten zien...

TD

Nu is de vraag, als we kijken naar polynomen met graad ten hoogste n, wat is dan het beeld en wat is de kern van D? En wat is de matrix M tov een basis voor R[x] met graad ten hoogste n?

Vertrek van een willekeurige polynoom van graad n, de afgeleide is een polynoom van graad ...? Daarmee heb je het beeld nog niet helemaal, maar toch bijna. Voor de kern: welke polynomen hebben 0 (de 'nulpolynoom') als afgeleide? Dat zijn precies de elementen van de kern.

de basis lijkt me gewoon: (a0, a1x, a2x^2, ..... , anx^n)

Dat is toch een vreemde keuze, waarom niet gewoon de standaardbasis {1,x,x²,x³,...,xⁿ}? Die coëfficiënten komen er 'vanzelf' bij door lineaire combinaties van deze basisvectoren te maken. Voor de matrix van de lineaire afbeelding D kan je nagaan wat de beelden van deze basisvectoren onder D zijn.

flurrie

TD schreef:Vertrek van een willekeurige polynoom van graad n, de afgeleide is een polynoom van graad ...? Daarmee heb je het beeld nog niet helemaal, maar toch bijna. Voor de kern: welke polynomen hebben 0 (de 'nulpolynoom') als afgeleide? Dat zijn precies de elementen van de kern.

Dat is toch een vreemde keuze, waarom niet gewoon de standaardbasis {1,x,x²,x³,...,xⁿ}? Die coëfficiënten komen er 'vanzelf' bij door lineaire combinaties van deze basisvectoren te maken. Voor de matrix van de lineaire afbeelding D kan je nagaan wat de beelden van deze basisvectoren onder D zijn.

Ok dus de afgeleide is een polynoom van graad n-1. Dus zijn dat dan alle vectoren die bestaan uit een lineare combinatie van (1,x,....,x^n-1) ?

De kern bestaat dus uit het polynoom waarvoor geld dat: D(f(x)) = f'(x) = 0

Maw moet f(x) dus een polynoom zijn zonder x, maar dan zou het polynoom enkel bestaan uit een paar scalairen, of f(x) = 0, het nulpolynoom.

En je hebt gelijk over de basis, foutje van mij.

Maar als ik dan kijk naar de matrix, zou deze matrix dan uit één enkele kolom bestaan: (1,x,x^2,...,x^n-1) ?

TD

Ok dus de afgeleide is een polynoom van graad n-1.

Klopt, bovendien is elke polynoom van graad n-1 wel de afgeleide van een polynoom van graad n, dus het beeld is de verzameling van polynomen van graad ten hoogste n-1.

Dus zijn dat dan alle vectoren die bestaan uit een lineare combinatie van (1,x,....,x^(n-1)) ?

Dat is dan een geschikte basis voor het beeld.

flurrie schreef:De kern bestaat dus uit het polynoom waarvoor geld dat: D(f(x)) = f'(x) = 0

Maw moet f(x) dus een polynoom zijn zonder x, maar dan zou het polynoom enkel bestaan uit een paar scalairen, of f(x) = 0, het nulpolynoom.

Je bedoelt het misschien goed, maar die laatste formulering (blauw) is toch wat onduidelijk. Als de afgeleide 0 is, is de polynoom een constante.

Maar als ik dan kijk naar de matrix, zou deze matrix dan uit één enkele kolom bestaan: (1,x,x^2,...,x^n-1) ?

De matrix van een lineaire afbeelding bevat in de kolommen de beelden van de basisvectoren.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Matrix van de afgeleide van een polynoom

Matrix van de afgeleide van een polynoom

Re: Matrix van de afgeleide van een polynoom

Re: Matrix van de afgeleide van een polynoom

Re: Matrix van de afgeleide van een polynoom