Pagina 1 van 1
Richtingsafgeleide
Geplaatst: do 22 mar 2012, 14:52
door Jaimy11
De formule
\(\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\)
met f(x,y)
\(\neq (0,0)\)
.
Laat zien dat voor iedere
\(v=(v_1,v_2)\)
met lengte
\(v=1\)
de richtingsafgeleide
\(D_vf\)
bestaat.
In de uitwerking wordt een andere formule toegepast dan we gewend zijn.
Hierbij gebruikt men:
\(D_vf(0,0)=[\frac{d}{dt}*f(v(t))]_{t=0}\)
Kan iemand dit uitleggen?
Re: Richtingsafgeleide
Geplaatst: vr 23 mar 2012, 10:38
door EvilBro
De formule
\(\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\)
met f(x,y)
\(\neq (0,0)\)
.
Ik neem aan dat je met dit laatste bedoelt dat de functie niet gedefinieerd is op de oorsprong.
Laat zien dat voor iedere
\(v=(v_1,v_2)\)
met lengte
\(v=1\)
de richtingsafgeleide
\(D_vf\)
bestaat.
Dit zou ik doen via de gradient...
In de uitwerking wordt een andere formule toegepast dan we gewend zijn.
Hierbij gebruikt men:
\(D_vf(0,0)=[\frac{d}{dt}*f(v(t))]_{t=0}\)
Kan iemand dit uitleggen?
Ik kan dit niet uitleggen. Ik zou namelijk niet weten waarom de richtingsafgeleide van een niet gedefinieerd punt iets is dat zinnig is.
Re: Richtingsafgeleide
Geplaatst: vr 23 mar 2012, 11:00
door Jaimy11
Opgave 2.
Zij f:
\(R^2 --> R\)
gedefinieerd door
\(f(x,y)=(0,0)\)
\(\frac{x3 + y3}{x2 + y2}\)
als
\((x,y) \neq (0,0)\)
en
\(f(0,0)=0\)
.
Laat zien dat voor iedere v=(v1,v2) met ||v|| = 1 de richtingsafgeleide
Dvf(0,0) bestaat.
Dat is de exacte vraagstelling....
Dus voor
\(v_1=cos \alpha\)
en voor
\(v_2=sin \alpha\)
lijkt me logisch.
Maar in de uitwerking beginnen ze echt met wat ik al eerder typte....
\(D_vf(0,0)=[\frac{d}{dt} \cdot f(v(t))]_{t=0}\)
\(D_vf(0,0)=[\frac{d}{dt} \cdot f(v(t \cdot cost, t \cdot sint))]_{t=0}\)
Om uiteindelijk tot de volgende conclusie te komen:
\(cos^3 \alpha + sin^3 \alpha\)
Misschien zo helderder?
Re: Richtingsafgeleide
Geplaatst: vr 23 mar 2012, 11:30
door EvilBro
Dit blijf ik een rare notatie vinden... maar de verdere informatie helpt wel degelijk.
Dus voor
\(v_1=cos \alpha\)
en voor
\(v_2=sin \alpha\)
lijkt me logisch.
\(x(t) = \cos(\alpha) t\)
\(y(t) = \sin(\alpha) t\)
\(f(x(t),y(t)) = \frac{(\cos(\alpha) t)^3 + (\sin(\alpha) t)^3}{(\cos(\alpha) t)^2 + (\sin(\alpha) t)^2} = \frac{(\cos^3(\alpha) + \sin^3(\alpha)) t^3}{(\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)) t^2} = \frac{(\cos^3(\alpha) + \sin^3(\alpha)) t^3}{t^2} = (\cos^3(\alpha) + \sin^3(\alpha)) t\)
Dit is dus de functie f over een lijn door de oorsprong met een hoek alfa. Hier hoef je dan alleen nog maar de afgeleide van te bepalen.
Re: Richtingsafgeleide
Geplaatst: vr 23 mar 2012, 12:03
door Jaimy11
EvilBro schreef:Dit blijf ik een rare notatie vinden... maar de verdere informatie helpt wel degelijk.
\(x(t) = \cos(\alpha) t\)
\(y(t) = \sin(\alpha) t\)
\(f(x(t),y(t)) = \frac{(\cos(\alpha) t)^3 + (\sin(\alpha) t)^3}{(\cos(\alpha) t)^2 + (\sin(\alpha) t)^2} = \frac{(\cos^3(\alpha) + \sin^3(\alpha)) t^3}{(\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)) t^2} = \frac{(\cos^3(\alpha) + \sin^3(\alpha)) t^3}{t^2} = (\cos^3(\alpha) + \sin^3(\alpha)) t\)
Dit is dus de functie f over een lijn door de oorsprong met een hoek alfa. Hier hoef je dan alleen nog maar de afgeleide van te bepalen.
Het uitrekenen is het probleem niet, we begrijpen niet waarom je f(v(t)) moet gebruiken en niet: gradient van f * v(vector)