Hoi,
Ik ben benieuwd hoe je de somreeks van 1/(n^2) moest uitrekenen. De reeks loopt van n=1 tot n=oneindig. Er moest iets van (pi^2)/ 6 uitkomen..., maar hoe?
Laatste berichten
-
13:57
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 9
-
13:16
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 17
-
13:12
[natuurkunde] kroon van koning op Syracuse 10
-
12:01
Gravity and gravitation 1
-
10:15
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
09:54
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 6
-
23:07
Rood laserlicht 2
-
15:28
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
24 apr
positie 2
-
24 apr
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
-
23 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
23 apr
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
-
23 apr
projectiel 8
-
23 apr
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
23 apr
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
22 apr
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
22 apr
Rotatie van het heelal 41
-
22 apr
Muntje opgooien 14
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
somreeks van 1/(n^2)
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 792
Re: somreeks van 1/(n^2)
tja dat is inderdaad een mooi probleem maar het is ook niet evident
er zijn meerdere manieren
de eerste methode die ik zag (in ingenieursstudies ooit...) was met fourier
ontbindingen : je ontbindt x^2 op het interval [-Pi,Pi] met fourier
je bekomt dan de reeks Pi^2/3+sum(cos(k*x)*(-1)^k*4/k/k),k=1..infinity)
onder een reeks voorwaarden is dit op het interval [-Pi,Pi] precies de functie x^2
(die voorwaarden zijn meestal 'saai' in de zin van continu en afleidbaar en zo, maar je moet wel opletten als je gaat evalueren in randpunten eigenlijk)
nu wil dat dus zeggen dat je reeks ook klopt voor x=Pi
merk opdat voor gehele k cos(k*Pi)=(-1)^k
dus is Pi^2/3+sum((-1)^k*(-1)^k*4/k/k,k=1..infinity)=Pi^2
een beetje herschikken levert nu dat je gezochte som gelijk is aan Pi^2/6
dit bewijs is waarschijnlijk beetje raar maar er is ook een betere methode , via de complexe analyse, meer bepaald de residustelling, maar als je die niet kent is het bijna hopeloos om uit te leggen, dus laat me wat weten en dan leg ik het ff uit hoe dat gaat
het interessante is dat je met complexe analyse eigenlijk de reeks 1/ n^m
voor m=2,4,6,..... kunt berekenen (hoewel het na een tijd echt geen plezante berekening meer is), en het toffe is , je vindt altijd
Pi^m*(iets rationaal)
het vreemde is dat de reeks 1/n^m voor oneven m veel lastiger is
er zijn meerdere manieren
de eerste methode die ik zag (in ingenieursstudies ooit...) was met fourier
ontbindingen : je ontbindt x^2 op het interval [-Pi,Pi] met fourier
je bekomt dan de reeks Pi^2/3+sum(cos(k*x)*(-1)^k*4/k/k),k=1..infinity)
onder een reeks voorwaarden is dit op het interval [-Pi,Pi] precies de functie x^2
(die voorwaarden zijn meestal 'saai' in de zin van continu en afleidbaar en zo, maar je moet wel opletten als je gaat evalueren in randpunten eigenlijk)
nu wil dat dus zeggen dat je reeks ook klopt voor x=Pi
merk opdat voor gehele k cos(k*Pi)=(-1)^k
dus is Pi^2/3+sum((-1)^k*(-1)^k*4/k/k,k=1..infinity)=Pi^2
een beetje herschikken levert nu dat je gezochte som gelijk is aan Pi^2/6
dit bewijs is waarschijnlijk beetje raar maar er is ook een betere methode , via de complexe analyse, meer bepaald de residustelling, maar als je die niet kent is het bijna hopeloos om uit te leggen, dus laat me wat weten en dan leg ik het ff uit hoe dat gaat
het interessante is dat je met complexe analyse eigenlijk de reeks 1/ n^m
voor m=2,4,6,..... kunt berekenen (hoewel het na een tijd echt geen plezante berekening meer is), en het toffe is , je vindt altijd
Pi^m*(iets rationaal)
het vreemde is dat de reeks 1/n^m voor oneven m veel lastiger is
-
- Berichten: 5.679
Re: somreeks van 1/(n^2)
Klopt, dat is de formule van Euler:
Om dit te bewijzen zijn er meerdere manieren, maar ze zijn bepaald niet triviaal.
Deze reeks heeft te maken met de bekende Riemann Zeta functie.
Om dit te bewijzen zijn er meerdere manieren, maar ze zijn bepaald niet triviaal.
Deze reeks heeft te maken met de bekende Riemann Zeta functie.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
- Berichten: 3.437
Re: somreeks van 1/(n^2)
Er is ook wel een eenvoudiger bewijs, d.m.v. een gesloten padintegraal ( - 
naar + en vervolgens via de "rand" van het complexe vlak weer terug naar - 
). Maar dan moet je de som omschrijven in een integraal en de residu-stelling gebruiken. Ik vind het inzichtelijker dan werken met de zeta-functie, maar het is nog steeds erg lastig en abstract (niveau ~2e jaars universitaire wis/natuurkunde).
naar + en vervolgens via de "rand" van het complexe vlak weer terug naar - ). Maar dan moet je de som omschrijven in een integraal en de residu-stelling gebruiken. Ik vind het inzichtelijker dan werken met de zeta-functie, maar het is nog steeds erg lastig en abstract (niveau ~2e jaars universitaire wis/natuurkunde).Never underestimate the predictability of stupidity...
-
- Berichten: 24.578
Re: somreeks van 1/(n^2)
14 bewijzen hiervoor: http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/etc/zeta2.pdf
-
- Berichten: 3.437
Re: somreeks van 1/(n^2)
14 bewijzen hiervoor: http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/etc/zeta2.pdf
Ja, leuk. Ik bedoelde dus bewijs 8 (alhoewel hij het zich wat moeilijker maakt door een ander contour te kiezen), maar ik denk dat dit ook van behoorlijk pittig niveau is. Het was een tentamensom voor mijn college complexe analyse, en daarom herinner ik hem me nog
Never underestimate the predictability of stupidity...
-
- Berichten: 24.578
Re: somreeks van 1/(n^2)
Wij hebben hem tijdens Complexe Analyse ook ooit afgeleid uit de reeks voor cotg(z).
Het lijkt eerst abstract maar als je er een keer wat bedreven in bent is de complexe analyse een erg krachtig werktuig.
Het lijkt eerst abstract maar als je er een keer wat bedreven in bent is de complexe analyse een erg krachtig werktuig.
-
- Berichten: 93
Re: somreeks van 1/(n^2)
hmm die link werkt niet meer14 bewijzen hiervoor: http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/etc/zeta2.pdf
BABBAGE
