Kleine introductie: Ik ben een student in Diest die in het vijfde middelbaar zit in SJB-college en ik volg de richting wetenschappen-wiskunde.
Nu mijn probleem, bij mijn taak staat er een extra uitdaging waarvan ik de optie heb om die te maken, als 'wiskundige' kon ik die verleiding niet weerstaan om het te proberen.
De opdracht luidt als volgt:
Bereken cos 72° en sin 72° zonder rekenmachine.
Hint: Los eerst z^5 - 1= 0 op (door ontbinden van factoren).
De wederkerige vgl. van de vierde graad los je op door eerst te
delen door z², de termen met dezelfde coefficient samen te nemen
en de vorm te schrijven in functie van z + (1/z)
Een van de gevonden wortels (van het eerste kwadrant) is
cos 72° + i sin 72°.
Bepaal hiermee exact alle vijfde machtswortels uit 1.
Nu, we werken met de formule van Moivre dus ik veronderstel dat dat er iets mee te maken heeft. Formule van Moivre is als volgt:
(cos alpha + i sin alpha)^n = cos(n maal alpha) + i sin(n maal alpha)
Ik heb al iets gevonden van het rechterlid waarbij n (6/5) is en alpha is gelijk aan 60°, 60° van cosinus en sinus weten we namelijk (vierkantswortel van 3, gedeeld door 2 voor sin en 1/2 voor de cos).
Dan kunnen we daarvan de 6/5 nemen, maar ik weet niet goed hoe ik het zal noteren en ik denk dat er meer bij komt kijken. Ik moet de oplossing natuurlijk niet hebben, tis nog steeds mijn oefening, maar een hint zou leuk zijn.
Dank bij voorbaat,
~Medewiskundige
Laatste berichten
-
10:44
Schroefdraad berekening 8
-
00:15
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
22:27
positie 1
-
21:15
Weerfrustratie 9
-
18:08
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 15
-
14:16
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 7
-
14:16
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
13:57
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
-
23 apr
projectiel 8
-
23 apr
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
23 apr
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
22 apr
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
22 apr
Rotatie van het heelal 41
-
22 apr
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
-
21 apr
speciale rel. theorie 5
-
21 apr
Vogels in de stad zijn goede klussers
-
21 apr
Ervaringen met "herontdekkingen" 15
-
20 apr
Herleiden afmetingen vanaf een foto 19
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
n-de machtswortels uit een complex getal
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 310
n-de machtswortels uit een complex getal
Niet weten is geen schande, niet willen weten wél, en persé beter willen weten ook!
(quotatie van Jan van de Velde)
(quotatie van Jan van de Velde)
-
- Berichten: 4.810
Re: n-de machtswortels uit een complex getal
Dit komt me heel bekend voor, maar is echt al heel lang geleden dat ik nog zo een oefeningen gedaan heb (ondertussen al bijna een jaar geleden 
)
Het komt er wel op neer dat je 5 keer zal moeten reken, met 5 verschillende hoeken, eigelijk kan je blijven verder gaan maar dan kom je steeds op hetzelfde teru (2
)
)Het komt er wel op neer dat je 5 keer zal moeten reken, met 5 verschillende hoeken, eigelijk kan je blijven verder gaan maar dan kom je steeds op hetzelfde teru (2
)-
- Berichten: 310
Re: n-de machtswortels uit een complex getal
Zat jij ook in het SJBC vroeger?Dit komt me heel bekend voor, maar is echt al heel lang geleden dat ik nog zo een oefeningen gedaan heb (ondertussen al bijna een jaar geleden
En ik heb de hoeken uitgewerkt, maar ik ben er niet veel wijzer mee geworden... Toch niets om die 72° uit te kunnen werken..
Niet weten is geen schande, niet willen weten wél, en persé beter willen weten ook!
(quotatie van Jan van de Velde)
(quotatie van Jan van de Velde)
-
- Berichten: 4.810
Re: n-de machtswortels uit een complex getal
Nee, ik zit op een heel andere school maar zit nu in 6WW, dus het lijkt me wel logisch dat ik gelijkaardige oefeningen heb gezien , als ik vanavond even de tijd vind zoek ik mss even m'n wiskundemap
Re: n-de machtswortels uit een complex getal
Is bib357 nog geïnteresseerd?
De nulptn bevinden zich op de eenheidscirkel in het complexe vlak en vormen een regelmatige 5-hoek met de reële as als symm as.
(de opl zijn genummerd in tegenwijzerrichting):
z1=1
z2=1/4[{sqrt(5)-1} + i*sqrt{2*sqrt(5)*(sqrt(5)+1)}]
z3=1/4[-{sqrt(5)+1} + i*sqrt{2*sqrt(5)*(sqrt(5)-1)}]
z4=1/4[-{sqrt(5)+1} - i*sqrt{2*sqrt(5)*(sqrt(5)-1)}]
z5=1/4[{sqrt(5)-1} - i*sqrt{2*sqrt(5)*(sqrt(5)+1)}]
NB: wie kan me aan upload-adressen helpen?
De nulptn bevinden zich op de eenheidscirkel in het complexe vlak en vormen een regelmatige 5-hoek met de reële as als symm as.
(de opl zijn genummerd in tegenwijzerrichting):
z1=1
z2=1/4[{sqrt(5)-1} + i*sqrt{2*sqrt(5)*(sqrt(5)+1)}]
z3=1/4[-{sqrt(5)+1} + i*sqrt{2*sqrt(5)*(sqrt(5)-1)}]
z4=1/4[-{sqrt(5)+1} - i*sqrt{2*sqrt(5)*(sqrt(5)-1)}]
z5=1/4[{sqrt(5)-1} - i*sqrt{2*sqrt(5)*(sqrt(5)+1)}]
NB: wie kan me aan upload-adressen helpen?
-
- Berichten: 310
Re: n-de machtswortels uit een complex getal
ja, ik ben nog geinteresseerd.. Maar wat betekent de sqrl? Die heb ik nog niet geleerd..
Niet weten is geen schande, niet willen weten wél, en persé beter willen weten ook!
(quotatie van Jan van de Velde)
(quotatie van Jan van de Velde)
-
- Berichten: 24.578
Re: n-de machtswortels uit een complex getal
sqrt staat voor "square root" en is de vierkantswortel, sqrt(x) is dus [wortel]x.
-
- Berichten: 310
Re: n-de machtswortels uit een complex getal
het was weer even geleden dat ik hier nog iets heb gereplied, maar ik snap toch nog altijd niet hoe je hieraan bent gekomen.. Ik heb eerst alle z-opl. gezocht:Safe schreef:Is bib357 nog geïnteresseerd?
De nulptn bevinden zich op de eenheidscirkel in het complexe vlak en vormen een regelmatige 5-hoek met de reële as als symm as.
(de opl zijn genummerd in tegenwijzerrichting):
z1=1
z2=1/4[{sqrt(5)-1} + i*sqrt{2*sqrt(5)*(sqrt(5)+1)}]
z3=1/4[-{sqrt(5)+1} + i*sqrt{2*sqrt(5)*(sqrt(5)-1)}]
z4=1/4[-{sqrt(5)+1} - i*sqrt{2*sqrt(5)*(sqrt(5)-1)}]
z5=1/4[{sqrt(5)-1} - i*sqrt{2*sqrt(5)*(sqrt(5)+1)}]
NB: wie kan me aan upload-adressen helpen?
z1=1*(cos(0°)+i*sin(0°))=1
z2=1*(cos(72°)+i*sin(72°))=0.30902+0.95106*i
z3=-0.80902+0.58779*i
z4=-0.80902-0.58779*i
z5=0.30902-0.95106*i
Het lijkt me het meest logische verder te gaan vanaf z2, maar hoe kun je dat verder oplossen? Ik dacht eerst misschien met de formules van Simpson waarbij je dan cos(72°) opsplitst in (60° + 12°), maar 12° kun je niet zonder rekenmachine berekenen... (toch niet met mijn beperkte kennis...) Ik denk dat Safe wel op het rechte pad zit, maar ik zou graag wat uitleg krijgen over hoe hij daaraan gekomen is
Niet weten is geen schande, niet willen weten wél, en persé beter willen weten ook!
(quotatie van Jan van de Velde)
(quotatie van Jan van de Velde)
-
- Berichten: 310
Re: n-de machtswortels uit een complex getal
laat maar, ik heb de oplossing al gevonden ^^ Bedankt voor uw hulp
Niet weten is geen schande, niet willen weten wél, en persé beter willen weten ook!
(quotatie van Jan van de Velde)
(quotatie van Jan van de Velde)
Re: n-de machtswortels uit een complex getal
Waarom moeten we kijken naar z+1/z?
We zitten op de eenheidscirkel en dan geldt |z|^2=1 <=> z*u=1, hierin is u de toegevoegde van z (bv als z=a+i*b volgt u=a-i*b).
Hieruit volgt u=1/z, zodat z+1/z=z+u=2*Re(z).
z^5-1=(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)
Dus: z^5-1=0 geeft z=1 of z^4+z^3+z^2+z+1=0,
z^4+z^3+z^2+z+1=0 <=> z^2(z^2+z+1+1/z+1/z^2)=0
Dus: z^2+z+1+1/z+1/z^2=0 <=> z^2+2+1/z^2+z+1/z-1=0
Of: (z+1/z)^2+(z+1/z)-1=0, noem z+1/z=w dan staat er w^2+w-1=0
Dus w1=-1/2+1/2*sqrt(5) en/of w2=-1/2-1/2*sqrt(5), dit zijn dus inderdaad reële opl zoals verwacht.
Nu terug naar de eenheidscirkel met de poolnotatie.
z1=cos(0)+i*sin(0)=1
z2=cos(72)+i*sin(72)
z3=cos(144)+i*sin(144)
z4=cos(-144)+i*sin(-144)=cos(144)-i*sin(144)
z5=cos(-72)+i*sin(-72)=cos(72)-i*sin(72)
z1=1
z2+z5=w1=2*cos(72)
z3+z4=w2=2*cos(144)
met bv cos(2*a)=1-2*sin(a) is sin(72) uit te rekenen!
Reken zelf even verder!!!
Als er nog vragen zijn, hoor ik dat wel.
We zitten op de eenheidscirkel en dan geldt |z|^2=1 <=> z*u=1, hierin is u de toegevoegde van z (bv als z=a+i*b volgt u=a-i*b).
Hieruit volgt u=1/z, zodat z+1/z=z+u=2*Re(z).
z^5-1=(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)
Dus: z^5-1=0 geeft z=1 of z^4+z^3+z^2+z+1=0,
z^4+z^3+z^2+z+1=0 <=> z^2(z^2+z+1+1/z+1/z^2)=0
Dus: z^2+z+1+1/z+1/z^2=0 <=> z^2+2+1/z^2+z+1/z-1=0
Of: (z+1/z)^2+(z+1/z)-1=0, noem z+1/z=w dan staat er w^2+w-1=0
Dus w1=-1/2+1/2*sqrt(5) en/of w2=-1/2-1/2*sqrt(5), dit zijn dus inderdaad reële opl zoals verwacht.
Nu terug naar de eenheidscirkel met de poolnotatie.
z1=cos(0)+i*sin(0)=1
z2=cos(72)+i*sin(72)
z3=cos(144)+i*sin(144)
z4=cos(-144)+i*sin(-144)=cos(144)-i*sin(144)
z5=cos(-72)+i*sin(-72)=cos(72)-i*sin(72)
z1=1
z2+z5=w1=2*cos(72)
z3+z4=w2=2*cos(144)
met bv cos(2*a)=1-2*sin(a) is sin(72) uit te rekenen!
Reken zelf even verder!!!
Als er nog vragen zijn, hoor ik dat wel.
-
- Berichten: 310
Re: n-de machtswortels uit een complex getal
laat maar, ik heb de oplossing al gevonden ^^ Bedankt voor uw hulp
Toch nog eens bedankt dat je de moeite doet om me verder te helpen. ik heb ook die z+1/z niet gebruikt. Ik heb simpelweg verder gewerkt van de 2e oplossing en verder uitgewerkt met vergelijkingen. dan had je iets met cos72°+isin72° bij het begin en als je de vgl hebt uitgewerkt dan heb je a+bi => cos 72° gelijkstellen aan a en sin 72° gelijkstellen aan b => oplossing!Niet weten is geen schande, niet willen weten wél, en persé beter willen weten ook!
(quotatie van Jan van de Velde)
(quotatie van Jan van de Velde)
