priemgetallen

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer
Berichten: 237

priemgetallen

Zin in wiskunde? :roll:

bewijs dat ....

als p een priemgetal is groter dan 3 bewijs dat (p²-1)/24 altijd een geheel getal is

een leuk opgave
The first writing, science, mathematics, law and philosophy in the world, making the region the center of what is called the "Cradle of Civilization" - Iraq

Gebruikersavatar
Berichten: 306

Re: priemgetallen

(p-1)*p*(p+1) is altijd deelbaar door 2, door 4 en door 3 en heeft bijgevolg 24 als deler. Het priemgetal zelf doet niet mee, dat geeft:

p²-1=24k voor alle priemgetallen groter dan 3.

Een hele mooie.
Geloven staat vrij, maar kwak blijft kwak.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.097

Re: priemgetallen

Kris Hauchecorne schreef:(p-1)*p*(p+1) is altijd deelbaar door 2, door 4 en door 3 en heeft bijgevolg 24 als deler.  

Een hele mooie.
Als een getal deelbaar is door 2,3 en door 4; wil dat dan zeggen dat dit getal automatisch deelbaar is door 24?

12-180-324-1236

zijn maar enkele voorbeelden van getallen die 2,3 en 4 als delers hebben, maar niet 24.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower

Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

Berichten: 123

Re: priemgetallen

(p²-1)/24 = (p+1)(p-1)/24

Een priemgetal boven de 3 is te schrijven als p=(6n-1) of p=(6n+1). Als je dit invult krijg je;

(6n)(6n-2)/24 = (2*3*n)(4*[3/2n-1/2])/24 = n*(3/2n-1/2)

of;

(6n)(6n+2)/24= (2*3*n)(4*[3/2n+1/2])/24 = n*(3/2n+1/2)

Beide uitkomsten zijn gehele getallen.
"Simplicity does not come of itself but must be created."

Re: priemgetallen

Als een getal deelbaar is door 2,3 en door 4; wil dat dan zeggen dat dit getal automatisch deelbaar is door 24?
Neen.

In dit geval gaat het om drie opeenvolgende getallen, waarvan de middelste priem. De twee andere zijn even. Bij twee opeenvolgende even getallen is het ene steeds deelbaar door 2, het andere door 4 (het getal dat deelbaar is door 4 is uiteraard ook delbaar door 2, maar dat doet er hier niet toe). Bij drie opeenvolgende getallen is er ook steeds één deelbaar door drie.

Berichten: 179

Re: priemgetallen

Deze opgave komt uit de Q-E-D beginnerscompetitie van oktober: zie www.q-e-d.be :roll:

Berichten: 94

Re: priemgetallen

Deze is wat langer, maar mss ook de moeite.

Stelling: Voor elk priemgetal groter dan 3 geldt : (p²-1)/24 is een natuurlijk getal.

Bewijs: We weten zeker dat p van de vorm 2n+1 is, maar dan is p²-1 van de vorm 4n²+4n, een getal dat zeker deelbaar is door 4. Dus (p²-1)/4 = n²+n. Stel nu dat n even is, dan is n² ook even en n²+n ook. Stel dat n oneven is. Dan is n² oneven en n²+n even. Dus voor elk natuurlijk getal n geldt: n²+n is deelbaar door 2. Tot hier hebben we dus al bewezen dat p²-1 steeds deelbaar is door 8. Beschouwen we terug het getal p²-1. We kunnen N indelen in drie verzamelingen (0(mod3), 1(mod3) en 2(mod3)) die als unie volledig N hebben. Geen enkel priemgetal groter dan 3 zit echter in de verzameling 0(mod3). Dus de verzameling P van alle priemgetallen groter dan 3 spreidt zich over 1(mod3) en 2(mod3). Beschouw een priemgetal 1(mod3), maw van de vorm 3n+1. p²-1 is dan van de vorm 9n²+6n en dus zeker deelbaar door 3. Neem nu een priemgetal van de vorm 3n+2 (2(mod3) dus). p²-1 is dan van de vorm 9n²+12n+3 en eveneens deelbaar door 3. We hebben dus bewezen dat p²-1 deelbaar is door 8 én door 3. Dus (p²-1)/24 is een natuurlijk getal. qed

Reageer