Wetenschapsforum

Ik ben begonnen met deel 6 van de serie fundsmentele natuurkunde ""Statistische mechanica.
Ik probeer de afleiding van de verdelingswet van Maxwell Boltzman te snappen.
Het eerste opstakel is de formule van Stirling\
Ln(x !)=x.Ln(x)-x
Geldt dit vooe hele grote waarden van x ? en hoe komen ze aan die formule?

De formule van Stirling is inderdaad een benadering voor de natuurlijke logaritme van de faculteit van een getal,
ln(𝑥!) die vooral nuttig is voor grote waarden van 𝑥
De volledige vorm van Stirling's benadering luidt als volgt:

$\ln(x!) \approx x \ln(x) - x + \frac{1}{2} \ln(2\pi x) + \frac{1}{12x} - \frac{1}{360x^3} + \ldots$

De afleiding is wat lastig.

dit differentieren zou niet zo moeilijk moeten zijn , maar dit snap ik niet.?

hint:

$$ln(n_i / g_i) = ln(n_i) - ln(g_i) $$

leid nu eens af naar $n_i$...

aadkr schreef: ↑zo 24 mar 2024, 13:17 Ik ben begonnen met deel 6 van de serie fundsmentele natuurkunde ""Statistische mechanica.
Ik probeer de afleiding van de verdelingswet van Maxwell Boltzman te snappen.
Het eerste opstakel is de formule van Stirling\
Ln(x !)=x.Ln(x)-x
Geldt dit vooe hele grote waarden van x ? en hoe komen ze aan die formule?

Hoe ik dit intuïtief onthoud is dat ln(x!) gelijk is aan ln(x) + ln(x-1) + ln(x-2) + ... + ln(1). Deze som kun je met een integraal benaderen: de integraal van ln(x). Dat is precies x*ln(x)-x.

wnvl1, ik begrijp het gewoon niet. bedankt voor de hulp maar dit is voor mij te moeilijk.

De vraag is alleen maar waarom die $g_i$ verdwijnt? Of is de vraag ruimer?

Het eerste is heel eenvoudig.

Leid eens ln(x/7) af. Je gaat zien dat die 7 vanzelf verdwijnt. Dat kan je dan heel eenvoudig uitbreiden naar de afgeleide naar n van ln(n/g) met g een constante.

d(Ln P)/dnI=d(lnP)/dP.dP/dnI=1/P .dP/dni

hier gaat het al fout

Wat je schrijft is juist, maar dat is niet echt een stap vooruit. Beter direct ln P afleiden ipv om te zetten naar een afgeleide van P via de kettingregel.

wnvl1 en flappelap, hartelijk bedankt voor de hulp. nu zie ik het ook.Er is gebruik gemaakt van d(u.v)=u.dv+du.v
en d (ln (gi/ni))/dni=1/ni
dus
d(Ln(gi/ni))=dni/ni

Wetenschapsforum

de verdelingswet van Maxwell Boltzmann

de verdelingswet van Maxwell Boltzmann

Re: de verdelingswet van Maxwell Boltzmann

Re: de verdelingswet van Maxwell Boltzmann

Re: de verdelingswet van Maxwell Boltzmann

Re: de verdelingswet van Maxwell Boltzmann

Re: de verdelingswet van Maxwell Boltzmann

Re: de verdelingswet van Maxwell Boltzmann

Re: de verdelingswet van Maxwell Boltzmann

Re: de verdelingswet van Maxwell Boltzmann

Re: de verdelingswet van Maxwell Boltzmann

Re: de verdelingswet van Maxwell Boltzmann