Lim Xn = a
n -> oo
Lim Yn = b
n -> oo
Lim (Xn.Yn) = Lim Xn . Lim Yn
n -> oo
Kies een willekeurige K > 0, Merk op de voor alle n ∈ N geldt dat:
|(Xn.Yn) - (a.b)| ≤ ...
Op de plaats van '...' moet dan volgens mij iets komen in de aard van
'|Xn - a|.|Yn - b|' (m.a.w. iets waarvan we weten dat we het willekeurig klein kunnen krijgen).
Maar met wat staat '|(Xn.Yn) - (a.b)|' in verband ?
Dank bij voorbaat!
Laatste berichten
-
22:08
wig 11
-
21:37
speciale rel. theorie 12
-
21:22
[scheikunde] vraag Chemie - wat is de oplossing? 11
-
20:14
Aardlek-schakelaar 2
-
15:56
Programmeren met vectoren 6
-
14:53
Straatklok loopt 5 minuten voor 12
-
25 apr
Gravity and gravitation 4
-
25 apr
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 10
-
25 apr
Vogels in de stad zijn goede klussers 2
-
25 apr
Rood laserlicht 3
-
25 apr
Herleiden afmetingen vanaf een foto 21
-
25 apr
[wiskunde] Prijs Product per KG; Alternatief Inzicht 3
-
25 apr
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 9
-
25 apr
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 17
-
25 apr
[natuurkunde] kroon van koning op Syracuse 10
-
25 apr
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
24 apr
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
24 apr
positie 2
-
24 apr
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
[wiskunde] Bewijs Lim (Xn.Yn) = Lim Xn . Lim Yn
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 1.201
Bewijs Lim (Xn.Yn) = Lim Xn . Lim Yn
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Bewijs Lim (Xn.Yn) = Lim Xn . Lim Yn
xn.yn-xn.b+xn.b-ab ...
probeer dit eens.
probeer dit eens.
-
- Berichten: 1.201
Re: Bewijs Lim (Xn.Yn) = Lim Xn . Lim Yn
Iets in de richting van
xn.yn-xn.b+xn.b-ab = Xn (Yn - b) + b(Xn -a) ?
xn.yn-xn.b+xn.b-ab = Xn (Yn - b) + b(Xn -a) ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Bewijs Lim (Xn.Yn) = Lim Xn . Lim Yn
Ok, maar nu moet je ook je gegeven gebruiken.
Bv: uit je gegeven
Bv: uit je gegeven
\(\lim_{n\to \infty} y_n=b\)
volgt:-
- Berichten: 1.201
Re: Bewijs Lim (Xn.Yn) = Lim Xn . Lim Yn
xn.yn-xn.b+xn.b-ab = Xn (Yn - b) + b(Xn -a)
Uit de gegevens Lim Xn = a en Lim Yn = b volgt dat we:
|Xn -a| en |Yn-b| willekeurig klein kunnen krijgen.
Dus kunnen we 'Xn (Yn - b) + b(Xn -a)' ook willekeurig klein krijgen ?
Uit de gegevens Lim Xn = a en Lim Yn = b volgt dat we:
|Xn -a| en |Yn-b| willekeurig klein kunnen krijgen.
Dus kunnen we 'Xn (Yn - b) + b(Xn -a)' ook willekeurig klein krijgen ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 1.069
Re: Bewijs Lim (Xn.Yn) = Lim Xn . Lim Yn
Om je bewijs te starten noteer eerst even wat je allemaal gegeven hebt. Stel
En bovendien vanwege
Merk op dat ik nog niets heb ingevuld op de ..., dit kan je best doen (vind ik persoonlijk) nadat je de goede afschatting hebt gevonden voor de uitdrukking hieronder.
Kan je nu een
\((x_n)_n \to a\)
(dit wil zeggen dat de rij \((x_n)_n\)
convergeert naar \(a\)
) en stel \((y_n)_n \to b\)
en stel verder \(\epsilon>0\)
. Vanwege \((x_n)_n \to a\)
bestaat er een \(n_1\)
zodanig dat:\(\forall n \geq n_1: |x_n-a|<...\)
(1)En bovendien vanwege
\((y_n)_n \to b\)
bestaat er een \(n_2\)
zodanig dat:\(\forall n \geq n_2: |y_n-b|<...\)
(2)Merk op dat ik nog niets heb ingevuld op de ..., dit kan je best doen (vind ik persoonlijk) nadat je de goede afschatting hebt gevonden voor de uitdrukking hieronder.
Kan je nu een
\(n_0\)
kiezen zodanig dat aan (1) en (2) voldaan is? En je dus voor alle indexen \(n\)
voorbij \(n_0\)
het volgende mag schrijven (wat je zelf al had gevonden):\(|(x_n\cdot y_n)-(a\cdot b)|=|(x_n)\cdot (y_n)-x_n\cdot b+x_n\cdot b - a \cdot b| \leq |x_n||y_n-b|+|b||x_n-a|\)
Je ziet nu duidelijk dat je er bijna bent, maar je hebt nog een afschatting nodig om die \(|x_n|\)
kleiner te krijgen dan 'iets'. Heb je enig idee hoe? Probeer te denken aan de begrenzing van de convergente rij. Als je dit hebt ben je er.-
- Berichten: 1.201
Re: Bewijs Lim (Xn.Yn) = Lim Xn . Lim Yn
We kunnen 'n0' op de volgende manier kiezen: n0 ≥ max{n1,n2}, dan is n voor alle indices n ≥ n0 groter dan n1 en groter dan n2.
We kunnen (1) en (2) kleiner krijgen dan 'ε / |Xn|' ?
Door de oorspronkelijke 'ε' te delen door |Xn| wordt deze alleen maar kleiner; dus dat is 'positief' ?
We kunnen (1) en (2) kleiner krijgen dan 'ε / |Xn|' ?
Door de oorspronkelijke 'ε' te delen door |Xn| wordt deze alleen maar kleiner; dus dat is 'positief' ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Bewijs Lim (Xn.Yn) = Lim Xn . Lim Yn
Je geeft geen afschatting ...
Heb je zoiets nog niet eerder gezien?
Heb je zoiets nog niet eerder gezien?
-
- Berichten: 1.201
Re: Bewijs Lim (Xn.Yn) = Lim Xn . Lim Yn
Hhmmm, nee. Dit heb ik nog niet eerder gezien. 
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 4.246
Re: Bewijs Lim (Xn.Yn) = Lim Xn . Lim Yn
Zo zou ik verdergaan:
\(|x_n| \leq C \)
omdat \((x_n)_n \)
convergent is.\( \forall \epsilon >0\ \exists n_0: \forall n \geq n_0: |y_n-b|< \frac{ \epsilon}{2C} \)
enz.Quitters never win and winners never quit.
-
- Berichten: 1.201
Re: Bewijs Lim (Xn.Yn) = Lim Xn . Lim Yn
Waarom '2C' en niet gewoon 'C' ?dirkwb schreef: ↑za 07 apr 2012, 12:51
Zo zou ik het verdergaan:
\(|x_n| \leq C \)omdat\((x_n)_n \)convergent is.
\( \forall \epsilon >0\ \exists n_0: \forall n \geq n_0: |y_n-b|< \frac{ \epsilon}{2C} \)enz.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 4.246
Re: Bewijs Lim (Xn.Yn) = Lim Xn . Lim Yn
Omdat ik naar 
\( \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \)
toe wil Quitters never win and winners never quit.
-
- Berichten: 1.201
Re: Bewijs Lim (Xn.Yn) = Lim Xn . Lim Yn
Dus:
|(Xn.Yn) - (a.b)| = |Xn|.|Yn - b| + |b|.|Xn - a| ≤ ε / (2C) + ε / (2C) = ε / C < ε
Waarom het bovenstaande bewezen is ?
|(Xn.Yn) - (a.b)| = |Xn|.|Yn - b| + |b|.|Xn - a| ≤ ε / (2C) + ε / (2C) = ε / C < ε
Waarom het bovenstaande bewezen is ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 4.246
Re: Bewijs Lim (Xn.Yn) = Lim Xn . Lim Yn
Nee, |Xn|.|Yn - b|≤ C * ε / (2C) = ε / 2.
Quitters never win and winners never quit.
-
- Berichten: 1.201
Re: Bewijs Lim (Xn.Yn) = Lim Xn . Lim Yn
Ah ja, dat is wel verstandig; maar dan krijg je toch problemen bij (1) en (2) want dan werk je voor Lim Xn met 'ε / 2C' en voor Lim Yn met 'ε / 2'. Snap je wat ik bedoel
Siron schreef: ↑vr 06 apr 2012, 18:57
Om je bewijs te starten noteer eerst even wat je allemaal gegeven hebt. Stel\((x_n)_n \to a\)(dit wil zeggen dat de rij\((x_n)_n\)convergeert naar\(a\)) en stel\((y_n)_n \to b\)en stel verder\(\epsilon>0\). Vanwege\((x_n)_n \to a\)bestaat er een\(n_1\)zodanig dat:
\(\forall n \geq n_1: |x_n-a|<...\)(1)
En bovendien vanwege\((y_n)_n \to b\)bestaat er een\(n_2\)zodanig dat:
\(\forall n \geq n_2: |y_n-b|<...\)(2)
Merk op dat ik nog niets heb ingevuld op de ..., dit kan je best doen (vind ik persoonlijk) nadat je de goede afschatting hebt gevonden voor de uitdrukking hieronder.
Kan je nu een\(n_0\)kiezen zodanig dat aan (1) en (2) voldaan is? En je dus voor alle indexen\(n\)voorbij\(n_0\)het volgende mag schrijven (wat je zelf al had gevonden):
\(|(x_n\cdot y_n)-(a\cdot b)|=|(x_n)\cdot (y_n)-x_n\cdot b+x_n\cdot b - a \cdot b| \leq |x_n||y_n-b|+|b||x_n-a|\)Je ziet nu duidelijk dat je er bijna bent, maar je hebt nog een afschatting nodig om die\(|x_n|\)kleiner te krijgen dan 'iets'. Heb je enig idee hoe? Probeer te denken aan de begrenzing van de convergente rij. Als je dit hebt ben je er.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
