[wiskunde] Oefening i.v.m. limieten

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 16-04-'12, 18:55

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Oefening i.v.m. limieten

"Bereken de volgende limieten en vermeld heel nauwkeurig welke rekenregels en stellingen je daarbij gebruikt. Verifieer telkens expliciet of de voorwaarden van de stellingen die je toepast wel voldaan zijn."

a) Lim ( 5 + 1 / n²) / - (1 / 5)n = 5 / '-0' = -oo

b) Lim 2-n sin n = 0

c) Lim (1 / 2)n / (1 / 3) n + 1 = 3n + 1 / 2n = ...

d) Lim (-1)n 2n / (n² + 5n + 3) = [( 2(-1)n ) / n] / (1 + 5 / n + 3 / n²) = '0' / 1 = 0



Ik zou graag weten of a,b en d juist zijn en een tip krijgen over hoe ik c moet aanpakken.

Dank bij voorbaat! :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 16-04-'12, 19:00

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Oefening i.v.m. limieten

Geef je even aan welke stellingen/rekenregels je hebt gebruikt? Want dat deel vormt, volgens mij, de essentie van je vraag... Bij c), merk op dat
\(\frac{3^{n+1}}{2^n} = 3 \left(\frac{3}{2}\right)^n\)
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 16-04-'12, 19:16

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Oefening i.v.m. limieten

Drieske schreef: ↑ma 16 apr 2012, 19:00
Geef je even aan welke stellingen/rekenregels je hebt gebruikt? Want dat deel vormt, volgens mij, de essentie van je vraag... Bij c), merk op dat
\(\frac{3^{n+1}}{2^n} = 3 \left(\frac{3}{2}\right)^n\)
Mooi, dat had ik zo niet meteen gezien. Bij c is de Lim Xn = + 00

Euhm de stellingen en rekenregels die ik gebruikt heb:

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Voor a heb ik gebruik gemaakt van:

Propositie 2.2.3.7 (2)

Beschouw twee rijen (Xn) n ∈ N en (Yn) n ∈ N. Veronderstel dat de rij (Xn) n ∈ N een limiet heeft (eventueel +oo of -oo) en noteer die limiet met a. Veronderstel dat de rij (Yn) n ∈ N naar 0 convergeert. Dan geldt:

Als a ∈ R+ U {+oo} en als Yn < 0 voor alle behalve eventueel een eindig aantal n ∈ N

Lim Xn / Yn = -oo

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Voor b heb ik gebruik gemaakt van:

Stelling 2.2.3.1 (1)

Beschouw twee rijen (Xn) n ∈ N en (Yn) n ∈ N en een reëel getal A ∈ R. Veronderstel dat beide rijen convergeren (dus een eindige limiet hebben). Dan geldt:

De rij (AXn) n ∈ N convergeert en Lim AXn = A Lim Xn

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Voor c heb ik uiteindelijk gebruik gemaakt van:

(zie b)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Voor d heb ik gebruik gemaakt van:

Stelling 2.2.3.1 (5)

Beschouw twee rijen (Xn) n ∈ N en (Yn) n ∈ N en een reëel getal A ∈ R. Veronderstel dat beide rijen convergeren (dus een eindige limiet hebben). Dan geldt:

Als Yn ≠ 0 voor alle n ∈ N (behalve eventueel een eindig aantal) en als Lim Yn ≠ 0 dan convergeert de rij

(Xn / Yn) n ∈ N en

Lim Xn / Yn = Lim Xn / Lim Yn

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 16-04-'12, 19:23

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Oefening i.v.m. limieten

In mijn ogen mogen sommige zaken uitgebreider becommentarieerd worden. Je gebruikt namelijk veel meer. Ik heb geen (up-to-date) cursus van jou ter beschikking momenteel, dus dat zoekwerk laat ik aan jou, wel vermeld ik nog wat zaken.

a) Je maakt inderdaad gebruik van de stelling die jij zegt. Maar ook van de eigenschap dat
\(\lim_{n \to \infty} C + X_n = C + \lim_{n \to \infty} X_n\)
. En ook nog van
\(\lim_{n \to \infty} a^n = 0\)
als a < 1.

En zo moet je allen aflopen. Je argumentatie bij b) is bovendien fout. Noch je sin(n), noch 2-n is een constante... Of er is een deel van je stelling weggevallen.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 16-04-'12, 19:50

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Oefening i.v.m. limieten

Ja, daar geef ik je gelijk in. Het is wel een lange oefening als je alles correct wilt doen.

Neem bv. Lim n5 - n4 + n3 = Lim n5 ( 1 - (1 / n) + (1 / n²)) = +oo

Dus bij dit eenvoudig voorbeeld moet ik vermelden dat ik gebruik gemaakt heb van:

1) Lim Xn . Yn = Lim Xn . Lim Yn

2) Lim C + Xn = C + Lim Xn

3) LIm 1 / Xn = 1 / Lim Xn

4) Lim Xn + Yn = Lim Xn + Lim Yn

En dat zal het voor dit voorbeeld wel ongeveer zijn ?

Wat bedoelen ze eigenlijk exact met "...Verifieer telkens expliciet of de voorwaarden van de stellingen die je toepast wel voldaan zijn." ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 16-04-'12, 19:55

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Oefening i.v.m. limieten

Klopt ;) . En dan moet je strikt genomen ook nog opmerken dat aan de voorwaarden voor de respectievelijke stellingen is voldaan. Dit lijkt allemaal overkill, maar is bedoeld om je te laten stilstaan bij waarom een stap mag.

Strikt genomen kun je in dit voorbeeld nog wel wat gaan zeuren over details. Zo moet je eigenlijk 2) niet vermelden als je 4) vermeldt, want het is gewoon een speciaal geval...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 16-04-'12, 19:59

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Oefening i.v.m. limieten

Drieske schreef: ↑ma 16 apr 2012, 19:55
Klopt ;) . En dan moet je strikt genomen ook nog opmerken dat aan de voorwaarden voor de respectievelijke stellingen is voldaan. Dit lijkt allemaal overkill, maar is bedoeld om je te laten stilstaan bij waarom een stap mag.

Strikt genomen kun je in dit voorbeeld nog wel wat gaan zeuren over details. Zo moet je eigenlijk 2) niet vermelden als je 4) vermeldt, want het is gewoon een speciaal geval...
Klopt. Ja dat vroeg ik ook nog bij mijn vorige reactie, maar dat was blijkbaar weg gevallen.
Biesmansss schreef: ↑ma 16 apr 2012, 19:50
Wat bedoelen ze eigenlijk exact met "...Verifieer telkens expliciet of de voorwaarden van de stellingen die je toepast wel voldaan zijn." ?
Dus gewoon vermelden dat aan de voorwaarden voldaan is, is in principe genoeg ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 16-04-'12, 20:02

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Oefening i.v.m. limieten

Tja, opmerken volstaat in de meeste gevallen wel, omdat je herleidt tot standaarddingen om te controleren. Soms kun je ook verwijzen naar voorbeelden die in je cursus staan bijvoorbeeld.

Kun je nu, met deze info, b) correct uitleggen?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 16-04-'12, 20:13

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Oefening i.v.m. limieten

Euhm, die is toch nog steeds niet zo eenvoudig om echt correct uit te leggen.

Lim 2-n sin n = Lim ( 1 / 2n ) . Lim sin n = 0 . (maar dan ? iets dat divergeert tussen 1 en -1 ?) = 0

1) Lim Xn.Yn = Lim Xn . Lim Yn

Dus hier zit ik nog steeds een beetje vast.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 16-04-'12, 20:20

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Oefening i.v.m. limieten

Heb je geen stelling gezien die iets zegt in deze aard: als
\(X_n \leq Y_n \leq Z_n\)
voor alle n, en
\(\lim_{n \to \infty} X_n = \lim_{n \to \infty} Z_n\)
, dan bestaat ook de limiet van Yn en bovendien...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 16-04-'12, 20:26

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Oefening i.v.m. limieten

Oooh, juist jawel die heb ik inderdaad gezien.

-1 / (2n) ≤ 2-n sin n ≤ 1 / (2n)

Lim -1 / (2n) = Lim 1 / (2n) = 0

DUs bijgevolg is de Lim Xn = 0
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 16-04-'12, 20:30

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Oefening i.v.m. limieten

Klopt... Wat heb je hierbij nu allemaal gebruikt?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 16-04-'12, 20:33

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Oefening i.v.m. limieten

1) Lim Xn / Yn = Lim Xn / Lim Yn

2) de sandwich-stelling: als Xn ≤ Yn ≤ Zn en De Lim Xn = Lim Zn Dan is de Lim Yn hier ook aan gelijk

Deze twee ? :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 16-04-'12, 20:46

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Oefening i.v.m. limieten

Goh ja, klopt. Maar heb je ook niet (als eigenschap) ofzo gezien dat limnan = 0 als a<1? Want dan zou ik eerder dit vermelden :) .
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 16-04-'12, 23:19

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Oefening i.v.m. limieten

Drieske schreef: ↑ma 16 apr 2012, 20:46
Goh ja, klopt. Maar heb je ook niet (als eigenschap) ofzo gezien dat limnan = 0 als a<1? Want dan zou ik eerder dit vermelden :) .


Ja inderdaad, die hebben we ook nog gezien. :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”