[wiskunde] Bewijs i.v.m. Cauchy-rij

Biesmansss

Voor deze oefening voeren we eerst een nieuw begrip in. We noemen een rij

(Xn) n _∈ N in R een Cauchy-rij als:

∀ ε > 0, ∃ no _∈ N, ∀ n,m ≥ n0: | Xn - Xm| < ε

Er is een stelling die zegt dat een rij in R convergeert als en slechts als ze een Cauchy-rij is. Eén richting van die stelling is vrij gemakkelijk als oefening te bewijzen:het is niet zo moeilijk aan te tonen dat een convergente rij een Cauchy-rij is.

Het omgekeerde, dat een cauchy-rij in R ook convergent is, is verre van triviaal. Het heeft te maken met de specifieke structuur van R. Die omgekeerde richting geldt bijvoorbeeld niet in Q.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bewijs (1)

We willen bewijzen dat een rij (Xn) n _∈ N convergeert als en slechts als ze een Cauchy-rij is.

Definitie convergerende rij;

∀ ε > 0, ∃ no _∈ N, ∀ n ≥ n0: | Xn - a| < ε

Definitie Cauchy-rij

∀ ε > 0, ∃ no _∈ N, ∀ n,m ≥ n0: | Xn - Xm| < ε

Het volstaat dus om te bewijzen dat we |Xn - Xm| kleiner kunnen krijgen als een willekeurige ε > 0 (Ik ben er absoluut niet zeker van of ik hierdoor wel effectief bewijs wat ik moet bewijzen)

Kies een willekeurige ε > 0.

Aangezien de Lim Xn = a, bestaat er een n1 _∈ N zodat

|Xn - a| < ε / 2 (1)

Aangezien de Lim Xn = a, bestaat er een n2 _∈ N zodat

|Xm - a| < ε / 2 (2)

We weten dat

|(Xn - Xm) - (a - a)| = |(Xn - a) - (Xm -a)| ≤ |Xn - a| + |Xm - a|

Neem nu n0 _∈ N ≥ max{n1, n2}

Uit (1) en (2) volgt dat:

|Xn - a| + |Xm - a| < (ε / 2) + (ε / 2) = ε

Waardoor het bovenstaande bewezen is!

Bewijs (2)

(Hoe moet ik hieraan beginnen ?)

TD

Biesmansss schreef: ↑di 17 apr 2012, 14:03
Het volstaat dus om te bewijzen dat we |Xn - Xm| kleiner kunnen krijgen als een willekeurige ε > 0 (Ik ben er absoluut niet zeker van of ik hierdoor wel effectief bewijs wat ik moet bewijzen)

Dat gaat niet zomaar lukken, denk ik. Is dit wel een bewijs dat je 'zelf' moet vinden? Zoals je zelf al aangeeft steunt deze implicatie op de structuur van R, dus je zal daar eigenschappen over moeten gebruiken. Een klassieke manier is om eerst te tonen dat Cauchyrijen begrensd zijn en dan steunen op het feit dat begrensde rijen in R een convergente deelrij hebben; de (volledige) rij convergeert dan naar dezelfde limiet.

Biesmansss

TD schreef: ↑di 17 apr 2012, 14:47
Dat gaat niet zomaar lukken, denk ik. Is dit wel een bewijs dat je 'zelf' moet vinden? Zoals je zelf al aangeeft steunt deze implicatie op de structuur van R, dus je zal daar eigenschappen over moeten gebruiken. Een klassieke manier is om eerst te tonen dat Cauchyrijen begrensd zijn en dan steunen op het feit dat begrensde rijen in R een convergente deelrij hebben; de (volledige) rij convergeert dan naar dezelfde limiet.

Ja, het zijn eigenlijk twee bewijzen (zoals je waarschijnlijk wel gelezen hebt). Het eerste zou ik zelf moeten kunnen vinden, in de cursus staat er nl. ook nog bij "Doe dit!".

En het tweede, ja dat vind ik zelf ook veel minder evident. Ik denk dat ik dan eerst is goed moet uitzoeken hoe het net zit i.v.m. die structuur van zowel Q als R.

TD

Dus begrijp ik het goed dat je bij "1)" de "implicatie convergent => Cauchy" wou tonen?

Het idee is oké, maar het uitschrijven van de definitie met een keer 'm' en een keer 'n' is eigenlijk overbodig, daar staat gewoon hetzelfde (m of n is maar een 'dummy variabele'). Uit de definitie volgt dat als de rij limiet L heeft, dat dan voor alle e>0 er een N bestaat zodat voor n (maar ook voor 'm' of wat dan ook) > N geldt dat |x(n)-L| < e (of kies hier al handig e/2, zoals je zelf deed).

Wel, neem nu niet één n maar bv. n én m groter dan N, dan geldt (en dan kan je verder met jouw bewijs):

|x(n)-x(m)| = |x(n)-L + L-x(m)| [kleinergelijk] |x(n)-L| + |x(m)-L| ...

Biesmansss

TD schreef: ↑wo 18 apr 2012, 00:33
Dus begrijp ik het goed dat je bij "1)" de "implicatie convergent => Cauchy" wou tonen?

Het idee is oké, maar het uitschrijven van de definitie met een keer 'm' en een keer 'n' is eigenlijk overbodig, daar staat gewoon hetzelfde (m of n is maar een 'dummy variabele'). Uit de definitie volgt dat als de rij limiet L heeft, dat dan voor alle e>0 er een N bestaat zodat voor n (maar ook voor 'm' of wat dan ook) > N geldt dat |x(n)-L| < e (of kies hier al handig e/2, zoals je zelf deed).

Wel, neem nu niet één n maar bv. n én m groter dan N, dan geldt (en dan kan je verder met jouw bewijs):

|x(n)-x(m)| = |x(n)-L + L-x(m)| [kleinergelijk] |x(n)-L| + |x(m)-L| ...

Ja, die 'n' en 'm' werden ogpegeven door de cursus, dus zal ik deze maar gebruiken.

Ok, ik ben blij dat mijn eerste bewijs toch juist is.

En aangezien het tweede zo ingewikkeld blijkt te zijn, lijkt het mij het beste dat ik hier dan later eens op terug kom.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] Bewijs i.v.m. Cauchy-rij

Bewijs i.v.m. Cauchy-rij

Re: Bewijs i.v.m. Cauchy-rij

Re: Bewijs i.v.m. Cauchy-rij

Re: Bewijs i.v.m. Cauchy-rij

Re: Bewijs i.v.m. Cauchy-rij