-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bewijs
Defintie convergente rij in Rn:
∀ε > 0, ∃ k0 ∈ N, ∀ k ∈ N: k ≥ k0 => || Xk - a || < ε
Stel:
Lim Xk = a
Lim Yk = b
Het volstaat om te bewijzen dat:
∀ε > 0, ∃ k0 ∈ N, ∀ k ∈ N: k ≥ k0 => || (Xk - Yk) - (a - b) || < ε
Aangezien de Lim Xk = a, weten we dat er een k1 ∈ N bestaat zodat
|| Xk - a || < ε / 2 (1)
Aangezien de Lim Yk = a, weten we dat er een k2 ∈ N bestaat zodat
|| Yk - b || < ε / 2 (2)
Neem nu k0 ≥ max{k1, k2}.
Uit (1) en (2) volgt dan:
|| (Xk - Yk) - (a - b) ||
= || (Xk - a) - (Yk - b) || ≤ || Xk - a || + || Yk - b || < (ε / 2) + (ε / 2) = ε
Waardoor het bovenstaande bewezen is!
Mijn vraag is dus of dit bewijs klopt; meer specifiek vraag ik mij af of de stap
in het rood wel klopt/mag ?
Dank bij voorbaat!
