Mijn laatste tentamen over dit onderwerp ging niet zo goed, dus daarom ben ik alles nog even aan het doornemen om te kijken wat ik niet begrijp.
---
Zij
\(G = \{\begin{pmatrix} a & b \\ 0 &1 \end{pmatrix}\)
met \(a = \pm1, b \in \mathbb{Z}\} \subseteq GL_2(\mathbb{R})\)
[/b]a) Laat zien dat
\(G\)
een ondergroep is van \(GL_2(\mathbb{R})\)
.[/b]Nou, G is sowieso niet leeg, want die bevat onder andere het eenheidselement
\(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 &1 \end{pmatrix}\)
. Stel nu dat x en y twee elementen uit G zijn, dan:\(xy = \begin{pmatrix} x_1y_1 & x_1y_2+x_2 \\ 0 &1 \end{pmatrix}\)
. Dus \(xy \in G\)
, want \(x_1y_1 = \pm 1\)
en \(x_1y_2+x_2 \in \mathbb{Z}\)
.En:
\(x^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{x_1} & -\frac{x_2}{x_1} \\ 0 &1 \end{pmatrix}\)
en dat zit ook weer in G.Dit klopt?
b) Laat zien dat
\(f: G \rightarrow \{\pm1\} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)
gegeven door \(f(\begin{pmatrix} a & b \\ 0 &1 \end{pmatrix}) = (a, \overline{b})\)
een surjectief homomorfisme is, waarbij \(\{\pm1\} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)
de productgroep is.[/b]Allereerst toon ik aan dat het een homomorfisme is:
\(f(xy) = f(\begin{pmatrix} x_1y_1 & x_1y_2+x_2 \\ 0 &1 \end{pmatrix}) = (x_1y_1, \overline{x_1y_2 + x_2} = (x_1y_1, \overline{y_2 + x_2})\)
\(f(x)f(y) = (x_1, \overline{x_2})\cdot(y_1, \overline{y_2}) = (x_1y_1, \overline{x_2+y_2})\)
Dus een homomorfisme.Het is ook surjectief, want elke
\((x_1, \overline{x_2})\)
kan gedefinieerd worden door elke oneven b als \(\pverline{x_2} = \overline{1}\)
en een even b als \(\overline{x_1} = \overline{0}\)
, Dit moet ik vast nog netjes bewijzen, alleen weet ik niet hoe ik dit kan opschrijven.c) Bepaal het centrum
\(Z(G)\)
en de commutatorondergroep \([G, G]\)
van \(G\)
.[/b]Er geldt:
\(Z(G) = \{h \in G: gh = hg\)
voor alle \(g \in G\}\)
Dus dat betekent:\(\begin{pmatrix} g_1 & g_2 \\ 0 &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} h_1 & h_2 \\ 0 &1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} h_1 & h_2 \\ 0 &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} g_1 & g_2 \\ 0 &1 \end{pmatrix}\)
En dat komt neer op \(h_1g_2 + h_2 = g_1h_2 + g_2\)
en dit lijkt me enkel mogelijk voor \(h_1 = 1\)
en \(h_2 = 0\)
. Dus het centrum bestaat enkel uit de eenheidsmatrix. Klopt dit?De commutatorondergroep.wordt voortgebracht door de commutatoren:
\([x, y] = xyx^{-1}y^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & x_2 - y_2 + x_1y_2 - x_2y_1 \\ 0 &1 \end{pmatrix}\)
. Ik weet niet hoe ik hier verder mee moet. Het levert een matrix op en dan?d) Wat is de index
\([G : [G, G]]\)
van \([G, G]\)
in \(G\)
? Bepaal ook van elk element in de quotiëntgroep G/[G, G] de orde.[/b]De index is van [G, G] in G is de cardinaliteit van een volledig stelsel van representanten van de linkernevenklassen van [G, G] in G.
Een linkernevenklasse is een deelverzamling van de vorm:
\(g[G,G] = \{gx:x\in[G,G]\}\)
. Maar hier loop ik nu verder op vast. Wat moet ik nu doen?Alvast bedankt!
