Om te beginnen herken ik:
[wiskunde] Scheiding van variabelen
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 316
Scheiding van variabelen
Een deeltje beweegt volgens:
Om te beginnen herken ik:
\(a_x=k\exp{-2v_x}\)
Op \(t=0\) geldt \(v_x=0\). Nu moet ik een functie \(v_x(t)\) vinden.Om te beginnen herken ik:
\(a_x=\frac{dv_x}{dt}\)
Dit levert een separabele differentiaalvergelijking:\(\int\frac{dv_x}{\exp{-2v_x}}=\int k\ dt\)
Hier maak ik van:\(\frac{1}{2}\exp{2v_x}=kt\)
\(\exp{2v_x}=2kt\)
\(2v_x=\ln{2kt}\)
\(v_x(t)=\frac{1}{2}\ln{2kt}\)
Het antwoord moet echter zijn:\(v_x(t)=\frac{1}{2}\ln{(2kt+1)}\)
Waar komt deze +1 vandaan?-
- Berichten: 7.068
Re: Scheiding van variabelen
Je vergeet de constante die je krijgt door je integraal. De waarde van deze constante kun je bepalen met de gegeven startwaarde voor de snelheid.
-
- Berichten: 316
Re: Scheiding van variabelen
Ik zie niet in hoe ik dan toch een +1 krijg. Als ik aan beide integralen een integratieconstante toevoeg, dan zijn deze toch 0 aangezien t=0 en v0=0?
-
- Berichten: 7.068
Re: Scheiding van variabelen
De integratieconstante hoeft voor beide integralen niet gelijk te zijn.
-
- Berichten: 316
Re: Scheiding van variabelen
Ik heb dus:
Dit wordt:
Hoe ik dit met de startwaarden omgewerkt krijg naar het antwoord zie ik echt niet helaas.
\(\int \frac{dv_x}{\exp{-2v_x}}=\int k\ dt\)
Dit wordt:
\(\frac{1}{2}\exp{(2v_x)}+C_1=kt+C_2\)
Hoe ik dit met de startwaarden omgewerkt krijg naar het antwoord zie ik echt niet helaas.
-
- Berichten: 7.068
Re: Scheiding van variabelen
\(\frac{1}{2}\exp{(2v_x)}+C_1=k t+C_2\)
\(\frac{1}{2}\exp{(2v_x)}=k t+(C_2-C_1)\)
\(\exp{(2v_x)}=2 k t+ 2 (C_2-C_1) = 2 k t+C\)
\(2 v_x = \ln(2 k t+C)\)
\(v_x = \frac{1}{2} \ln(2 k t+C)\)
Er is gegeven dat voor t=0 geldt v=0. Invullen en oplossen naar C.-
- Berichten: 316
Re: Scheiding van variabelen
Ah, eigenlijk heel eenvoudig. Ik was in de war met het direct invullen van de startwaarden als constanten. Dit klopt uiteraard niet. Hartelijk bedankt!