[wiskunde] Bewijs exp (R) = R0+

Biesmansss

Bewijs dat exp(R.) = R₀⁺. Hierbij mag je gebruik maken van het feit dat exp continu is (dit hadden wel al bewezen). Bovendien is het handig te bedenken dat Lim eⁿ = +oo en lim e^-n = 0.

Is het het beste om dit te doen m.b.v. de injectiviteit van een exponentieële functie. Neem f: R⁺ -> R₀⁺: x |-> a^x

We weten dat Lim a^x = +oo en dat a⁰ = 1, omdat dit een continue, injectieve functie is kunnen we hieruit besluiten dat deze strikt stijgt; vandaar dat het beeld zich dan ook geheel in R₀⁺ zal bevinden. (1)

Neem nu f: R⁺ -> R₀⁺: x |-> a^-x

We weten dat Lim a^-x = 0 en dat a⁰ = 1, omdat dit een continue injectieve functie is kunnen we hieruit besluiten dat deze strikt dalend is: vandaar dat het beeld zich dan ook weer geheel in R₀⁺ zal bevinden. (2)

Uit 1 en twee volgt dat:

f: R -> R₀⁺: x |-> a^x

Waardoor het bovenstaande bewezen is!

Is dit een degelijk bewijs ?

TD

Ik veronderstel dat je met exp(.) de exponentiële functie e^x bedoelt? Waarom dan verderop met a^x werken? Die limieten gaan trouwens niet noodzakelijk meer op, denk bv. aan 0 < a < 1.

Je zegt dat je het feit dat exp continu is al mag gebruiken, maar daarna gebruik je ook injectiviteit. Is die eigenschap ook al getoond, of meen je die hier te hebben bewezen?

Biesmansss

"Zij a ∈ R₀⁺. Als a > 1, is exp_a : R -> R₀⁺ strikt stijgend. Als a < 1, is exp_a : R -> R₀⁺ strikt dalend. In het bijzonder is exp_ainjectief voor a ≠ 1. Als a ≠ 1, is bovendien exp_a(R) = R₀⁺, m.a.w. exp_a: R -> R₀⁺ is een bijectie."

"Bewijs dat exp(R.) = R₀⁺. Hierbij mag je gebruik maken van het feit dat exp continu is (dit hadden wel al bewezen). Bovendien is het handig te bedenken dat Lim eⁿ = +oo en lim e^-n = 0."

Zo deze opgave is een pak exacter denk ik.

TD

Dus als ik het goed begrijp mag je nog niet gebruiken dat exp monotoon en/of injectief is, enkel continu; en het enige dat je hier moet tonen is dat het beeld/bereik alle x>0 is.

Welke stelling(en) voor continue functies heb je gezien die je iets vertellen over welke beelden aangenomen worden?

Biesmansss

TD schreef: ↑zo 29 apr 2012, 12:35
Dus als ik het goed begrijp mag je nog niet gebruiken dat exp monotoon en/of injectief is, enkel continu; en het enige dat je hier moet tonen is dat het beeld/bereik alle x>0 is.

Welke stelling(en) voor continue functies heb je gezien die je iets vertellen over welke beelden aangenomen worden?

Het idee achter mijn bewijs is toch wel correct ? We moeten dus eigenlijk nog enkel aantonen dat een exp. functie die aan deze voorwaarden voldoet injectief is.

Een functie is injectief als er voor elke y-waarde maximum 1 x-waarde bestaat; maar hoe met dit in dit geval bewijs is een andere zaak.

Drieske

Hangt er vanaf of je al mag gebruiken dat de exponentiële monotoon is... Indien ja, valt dat wel mee om daaruit injectiviteit te halen (en als ik mij niet vergis, heb je dat zelfs al ergens eens gedaan).

TD

Biesmansss schreef: ↑zo 29 apr 2012, 15:00
Het idee achter mijn bewijs is toch wel correct ? We moeten dus eigenlijk nog enkel aantonen dat een exp. functie die aan deze voorwaarden voldoet injectief is.

Bewijs? Ik had niet eens door dat je al een bewijs gegeven had

. Was de 'rechtgedrukte tekst' de opgave en de 'schuingedrukte tekst' erboven jouw bewijs (in bericht #3)? Dan blijft mijn eerdere vraag waarom je met een willekeurig grondtal a werkt als in de opgave enkel van limieten van e^x gesproken wordt? Volgens mij ben ik de draad kwijt: wat is nu precies de opgave (en wat mag je gebruiken?) en wat is jouw bewijs?

Biesmansss

Ja, ik denk ook dat je de draad kwijt bent.

Dus de opgave is:

"Bewijs dat exp(R.) = R₀⁺(Propositie (1)). Hierbij mag je gebruik maken van het feit dat exp continu is (dit hadden wel al bewezen). Bovendien is het handig te bedenken dat Lim eⁿ = +oo en lim e^-n = 0."

En in deze opgave wordt dus verwezen naar Propostie (1):

"Zij a ∈ R₀⁺. Als a > 1, is exp_a : R -> R₀⁺ strikt stijgend. Als a < 1, is exp_a : R -> R₀⁺ strikt dalend. In het bijzonder is exp_ainjectief voor a ≠ 1. Als a ≠ 1, is bovendien exp_a(R.) = R₀⁺, m.a.w. exp_a: R -> R₀⁺ is een bijectie."

_______________________________________________________________________________

We moeten dus gaan bewijzen dat de functie f: R -> R₀⁺: x |-> a^x injectief is en heel R₀⁺ 'beschrijft' als

a ≠ 1.

TD

Biesmansss schreef: ↑zo 29 apr 2012, 15:44
We moeten dus gaan bewijzen dat de functie f: R -> R₀⁺: x |-> a^x injectief is en heel R₀⁺ als a ≠ 1.

Zo begrijp ik het toch niet... Voor zover ik kan volgen: de propositie is een eigenschap die wel geformuleerd is in je cursus, maar niet bewezen wordt. Die propositie gaat over willekeurige exponentiële functies en vertelt daar verschillende dingen over (zoals monotoon, injectief, het bereik en daardoor ook bijectief).

De opgave die je citeert vraagt niet om injectiviteit te tonen, enkel om te tonen dat het bereik R₀⁺ is, toch? En aangezien het subscript 'a' niet vermeld wordt en in de limieten die je mag gebruiken e als grondtal gebruikt wordt, lijkt het mij dat je dit enkel voor e^x moet bewijzen. Hoe ik de opgave begrijp, moet je dus (als oefening) een stuk van die propositie zelf bewijzen; namelijk het bereik in het geval van grondtal e.

Ofwel ben jij de draad ook een beetje kwijt, ofwel lees ik hier toch andere dingen dan jij

.

Biesmansss

TD schreef: ↑zo 29 apr 2012, 15:50
Zo begrijp ik het toch niet... Voor zover ik kan volgen: de propositie is een eigenschap die wel geformuleerd is in je cursus, maar niet bewezen wordt. Die propositie gaat over willekeurige exponentiële functies en vertelt daar verschillende dingen over (zoals monotoon, injectief, het bereik en daardoor ook bijectief).

De opgave die je citeert vraagt niet om injectiviteit te tonen, enkel om te tonen dat het bereik R₀⁺ is, toch? En aangezien het subscript 'a' niet vermeld wordt en in de limieten die je mag gebruiken e als grondtal gebruikt wordt, lijkt het mij dat je dit enkel voor e^x moet bewijzen. Hoe ik de opgave begrijp, moet je dus (als oefening) een stuk van die propositie zelf bewijzen; namelijk het bereik in het geval van grondtal e.

Ofwel ben jij de draad ook een beetje kwijt, ofwel lees ik hier toch andere dingen dan jij .

Wel, ik denk eigenlijk dat de voorbeelden met e niet algemeen genoeg zijn en we daarom beter kunnen werken met a. Voor de rest ben ik het wel met je eens, ik denk nl. ook dat het enkel nodig is om aan te tonen dat het beeld R₀⁺ is; maar is de eenvoudigste manier om dit te bewijzen niet aantonen dat het een continue, injectieve functie is ? Dan weten we nl. dat deze strikt stijgend of strikt dalend is. Waaruit we dan weer kunnen concluderen, omdat hij continu, injectief en strikt stijgend / dalend, dat hij effectief het gehele beeld R₀⁺ beschrijft.

TD

Ofwel ontbreekt er voor mij een stuk uit je cursus, maar op basis van de informatie die jij me geeft kan ik je toch niet volgen. Ik lees nergens dat het de bedoeling is om die propositie te bewijzen...? De opgave zegt dat je moet bewijzen dat het beeld van exp(x) alle strikt positieve getallen is. Dat resultaat maakt deel uit van de gegeven propositie, maar die propositie zelf zegt nog meer.

De propositie zegt o.a. ook dat exp injectief is, maar dat is in de opgave toch niet gevraagd om te bewijzen? Je mag dat natuurlijk doen, maar dan doe je meer dan gevraagd. En met enkel kennis van het asymptotisch gedrag van e^x, heb je niet genoeg gegevens om het voor een willekeurig grondtal a te doen.

Biesmansss

TD schreef: ↑zo 29 apr 2012, 17:04
Ofwel ontbreekt er voor mij een stuk uit je cursus, maar op basis van de informatie die jij me geeft kan ik je toch niet volgen. Ik lees nergens dat het de bedoeling is om die propositie te bewijzen...? De opgave zegt dat je moet bewijzen dat het beeld van exp(x) alle strikt positieve getallen is. Dat resultaat maakt deel uit van de gegeven propositie, maar die propositie zelf zegt nog meer.

De propositie zegt o.a. ook dat exp injectief is, maar dat is in de opgave toch niet gevraagd om te bewijzen? Je mag dat natuurlijk doen, maar dan doe je meer dan gevraagd. En met enkel kennis van het asymptotisch gedrag van e^x, heb je niet genoeg gegevens om het voor een willekeurig grondtal a te doen.

Akkoord, maar als we dus mogen aannemen dat het gaat om een injectieve, continue functie; dan klopt mijn 'bewijsje' van bericht #1 toch ?

TD

Er ontbreken dan wel wat details; de limiet die je schrijft zijn enkel geldig voor a>1 zodat het resultaat van a^x gecombineerd met a^-x het resultaat geeft voor alle a verschillend van 1. Bovendien haal je uit continu + injectief onmiddellijk monotoon, maar is dat iets dat je ervoor wel bewezen hebt?

Verder blijkt mijn opmerking dat in de opgave die je letterlijk geeft, helemaal niet staat dat je mag veronderstellen dat exp injectief is. Het lijkt me dus ook niet de bedoeling dat je dat gebruikt om te tonen dat het beeld R₀⁺ is. Dat kan ook zonder die veronderstelling als die limieten gegeven zijn (denk bv. aan de tussenwaardestelling).

tempelier

Als de stelling van Weierstrass mag worden toegepast is het simpel.

Bewijs dat er geen x is zodanig dat exp(x)=0

Via het ongerijmde volgt het dan direkt uit Weierstrass.

Mag Weierstrass niet mag worden toegepast bekijk dan het bewijs er van en verwerk dat.

Biesmansss

tempelier schreef: ↑di 01 mei 2012, 15:09
Als de stelling van Weierstrass mag worden toegepast is het simpel.

Bewijs dat er geen x is zodanig dat exp(x)=0

Via het ongerijmde volgt het dan direkt uit Weierstrass.

Mag Weierstrass niet mag worden toegepast bekijk dan het bewijs er van en verwerk dat.

Dit bewijs ben ik in mijn cursus toch nog nergens tegen gekomen.

TD schreef: ↑di 01 mei 2012, 14:48
Er ontbreken dan wel wat details; de limiet die je schrijft zijn enkel geldig voor a>1 zodat het resultaat van a^x gecombineerd met a^-x het resultaat geeft voor alle a verschillend van 1. Bovendien haal je uit continu + injectief onmiddellijk monotoon, maar is dat iets dat je ervoor wel bewezen hebt?

Verder blijkt mijn opmerking dat in de opgave die je letterlijk geeft, helemaal niet staat dat je mag veronderstellen dat exp injectief is. Het lijkt me dus ook niet de bedoeling dat je dat gebruikt om te tonen dat het beeld R₀⁺ is. Dat kan ook zonder die veronderstelling als die limieten gegeven zijn (denk bv. aan de tussenwaardestelling).

Ja, die eigenschap van monotoon heb ik voordien al wel bewezen, dus ik vermoed dat ik deze wel zou mogen gebruiken; maar als het inderdaad niet de bedoeling is dat ik gebruik maak van de injectiviteit dan lijkt me uw manier beter.

De tussenwaardestelling dus:

Aangezien Lim eⁿ = +oo en lim e^-n = 0 en het een continue functie betreft kunnen we uit de tussenwaarde stelling besluiten dat er voor elke y tussen ]0, -oo[ een x bestaat. Hieruit volgt dan onmiddelijk dat heel R₀⁺ beschreven wordt.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] Bewijs exp (R) = R0+

Bewijs exp (R) = R0+

Re: Bewijs exp (R) = R0+

Re: Bewijs exp (R) = R0+

Re: Bewijs exp (R) = R0+

Re: Bewijs exp (R) = R0+

Re: Bewijs exp (R) = R0+

Re: Bewijs exp (R) = R0+

Re: Bewijs exp (R) = R0+

Re: Bewijs exp (R) = R0+

Re: Bewijs exp (R) = R0+

Re: Bewijs exp (R) = R0+

Re: Bewijs exp (R) = R0+

Re: Bewijs exp (R) = R0+

Re: Bewijs exp (R) = R0+

Re: Bewijs exp (R) = R0+