[wiskunde] Aantal matrices waarbij det(A) = 0

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 47

Aantal matrices waarbij det(A) = 0

Beste leden,

ik heb een klein probleem met het vaststellen van het aantal
\(2 \times 2\)
matrices waarbij de elementen gehele getallen kunnen zijn in
\(\mathbb{Z}_{26}\)
(dus van
\(0\)
tot en met
\(26\)
).

Ik heb dus een matrix van
\(\begin{pmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2}\end{pmatrix}\)
waarbij
\(a_{1,1} \cdot a_{2,2} = a_{1,2} \cdot a_{2,1} = 0\)
. De vraag is hoe ik eigenlijk het aantal mogelijkheden hiervan kan vaststellen zonder dat ik alle mogelijkheden moet gaan opschrijven.

Kan iemand mij een hint geven?

Alvast bedankt!

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Aantal matrices waarbij det(A) = 0

Begin eens met een oplossing... Overigens zijn het de getallen modulo 26, dus 0 t/m 25

Berichten: 47

Re: Aantal matrices waarbij det(A) = 0

Oh, inderdaad. Bedankt voor de tip van modulo 26.

Ik denk laat ik maar met het makkelijkste geval beginnen en dat is wanneer
\(a_{1,1} = 0 \wedge a_{1,2} = 0\)
, dan heb ik namelijk een determinant van 0. Dit zijn dan
\(26^2\)
mogelijkheden, daarna zijn er nog 4 andere soortgelijke mogelijkheden*. Dus uiteindelijk zijn er in het makkelijkste geval:
\(4 \cdot 26^2\)
mogelijkheden.

Nu loop ik volledig vast, want hoe kan ik het aantal mogelijkheden vinden waarbij
\(a_{1,1} \cdot a_{2,2} = a_{1,2} \cdot a_{2,1}\)
? Ik weet bijvoorbeeld dat een mogelijkheid is
\(a_{1,1} = 6 \wedge a_{2,2} = 2 \wedge a_{1,2} = 3 \cdot a_{2,1} = 4\)
. Kan iemand mij vertellen hoe ik dit het beste kan structueren?

*Ik heb het berekent als volgt:
\({4 \choose 2} - 2 = 4\)
omdat er twee mogelijkheden zijn die niet kunnen, namelijk als
\(a_{1,1} = 0 \wedge a_{2,2} =0\)
en
\(a_{2,1} = 0 \wedge a_{1,2} = 0\)
.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Aantal matrices waarbij det(A) = 0

bsc.j.j.w schreef: zo 29 apr 2012, 23:49
Ik heb het berekent als volgt:
\({4 \choose 2} - 2 = 4\)
omdat er twee mogelijkheden zijn die niet kunnen, namelijk als
\(a_{1,1} = 0 \wedge a_{2,2} =0\)
en
\(a_{2,1} = 0 \wedge a_{1,2} = 0\)
.
En alle 4 kentallen gelijk 0. En 3 van de 4 gelijk 0 ...

Berichten: 47

Re: Aantal matrices waarbij det(A) = 0

Er is maar één mogelijkheid waarbij alle
\(4\)
van de kentallen gelijk zijn aan
\(0\)
. Daarnaast zijn er maar
\({4 \choose 3} \cdot 26^1\)
mogelijkheden waarvan er
\(3\)
van de
\(4\)
kentallen gelijk zijn aan
\(0\)
. Dit kan je dan nog daarbij optellen, dit snap ik op zich wel.

Maar iemand nog een hint hoe ik verder moet?

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Aantal matrices waarbij det(A) = 0

Er is een veel efficiëntere manier... Bekend met de Chinese Reststelling?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Reageer