"Toon aan met behulp van de definitie van een limiet dat Lim x -> 1 (2x + 1) = 3. Als je in je argumentatie beweert dat bepaalde rijen een zekere limiet hebben, moet je ook dat bewijzen met behulp van de definitie van limiet van een rij."
Beschouw de functie:
f: R -> R: x |-> 2x + 1
Merk op dat {1} een ophopingspunt is van R. We tonen nu aan met behulp van de definitie dat:
Lim x -> 1 f(x) = 3
Eerst stellen we vast dat
|2x + 1| = 2.|x| + 1
Beschouw nu een willekeurige rij (Xk)k ∈ N in R die naar 1 convergeert. Uit in blijkt dat:
|f(Xk)| = 2.|Xk| + 1
D.m.v. de rekenregels inverband met limieten weten we dat
Lim (A. Xk) = A Lim Xk
Lim (Xk + Yk) = Lim Xk + Lim Yk
Hieruit volgt dat=
Lim 2.|Xk| + 1 = 2.Lim Xk + 1
We weten dat Lim Xk = 1, de nu kunnen we besluiten dat Lim (f(Xk)) = 3
Waardoor het bovenstaande bewezen is.
Klopt dit bewijs ?
Laatste berichten
-
21:22
[scheikunde] vraag Chemie - wat is de oplossing? 11
-
21:13
wig 10
-
20:14
Aardlek-schakelaar 2
-
15:56
Programmeren met vectoren 6
-
14:53
Straatklok loopt 5 minuten voor 12
-
23:12
speciale rel. theorie 10
-
22:36
Gravity and gravitation 4
-
25 apr
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 10
-
25 apr
Vogels in de stad zijn goede klussers 2
-
25 apr
Rood laserlicht 3
-
25 apr
Herleiden afmetingen vanaf een foto 21
-
25 apr
[wiskunde] Prijs Product per KG; Alternatief Inzicht 3
-
25 apr
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 9
-
25 apr
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 17
-
25 apr
[natuurkunde] kroon van koning op Syracuse 10
-
25 apr
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
24 apr
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
24 apr
positie 2
-
24 apr
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
[wiskunde] Bewijs limiet functie met definitie (rijen)
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 1.201
Bewijs limiet functie met definitie (rijen)
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Bewijs limiet functie met definitie (rijen)
Dit is niet altijd waar, maar wel als x>=0 is en dan is het gebruik van absoluutstrepen natuurlijk overbodig.
-
- Berichten: 1.201
Re: Bewijs limiet functie met definitie (rijen)
Klopt. Wel kan ik werken met de eerste driehoeksongelijkheid:Safe schreef: ↑do 03 mei 2012, 12:26
Dit is niet altijd waar, maar wel als x>=0 is en dan is het gebruik van absoluutstrepen natuurlijk overbodig.
|2x + 1| ≤ |2x| + |1| = 2|x| + 1
Waardoor het vervolg van mijn bewijs behouden blijft.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 10.179
Re: Bewijs limiet functie met definitie (rijen)
Ik begrijp niet goed wat je hier probeert te doen... Waarom gebruik je die absolute waarde?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 1.201
Re: Bewijs limiet functie met definitie (rijen)
Om dat te kunnen koppelen aan die rij ?Drieske schreef: ↑do 03 mei 2012, 19:54
Ik begrijp niet goed wat je hier probeert te doen... Waarom gebruik je die absolute waarde?
Misschien toch maar eens overnieuw beginnen:
Beschouw de functie:
f: R -> R: x |-> 2x + 1
Merk op dat {1} een ophopingspunt is van R. We tonen nu aan met behulp van de definitie dat:
Lim x -> 1 f(x) = 3
Beschouw nu een willekeurige rij (Xk)k ∈ N in R die naar 1 convergeert. Uit in blijkt dat:
f(Xk) = 2Xk + 1
D.m.v. de rekenregels in verband met limieten weten we dat
Lim (A. Xk) = A Lim Xk
Lim (Xk + Yk) = Lim Xk + Lim Yk
Hieruit volgt dat=
Lim 2.Xk + 1 = 2.Lim Xk + 1
We weten dat Lim Xk = 1, de nu kunnen we besluiten dat Lim (f(Xk)) = 3
Waardoor het bovenstaande bewezen is.
Is dit beter ?
Maar ook nu weer blijft mijn vorige vraag behouden:
We moeten die oefening doen m.b.v. de definitie van een limiet (dus zonder rekenregels); maar hoe kan ik de convergentie van 2|Xk| + 1 bewijzen zonder rekenregels ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 10.179
Re: Bewijs limiet functie met definitie (rijen)
Je mag de rekenregels toch gewoon gebruiken? En ik zie niet echt waarom je plots afkomt met die 2|Xk| + 1. Je wilt toch convergentie van 2 Xk + 1 tonen? Wil je dit zonder de rekenregels doen, gaat dat uiteraard, en vrij vlot. Maar daar heeft die eerste rij niet echt bij te zien.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 1.201
Re: Bewijs limiet functie met definitie (rijen)
Je moet toch aantonen dat Lim f(Xk) = LDrieske schreef: ↑do 03 mei 2012, 20:36
Je mag de rekenregels toch gewoon gebruiken? En ik zie niet echt waarom je plots afkomt met die 2|Xk| + 1. Je wilt toch convergentie van 2 Xk + 1 tonen? Wil je dit zonder de rekenregels doen, gaat dat uiteraard, en vrij vlot. Maar daar heeft die eerste rij niet echt bij te zien.
Om dit te bewijzen ? Dat is toch exact wat ik die ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 10.179
Re: Bewijs limiet functie met definitie (rijen)
Je kunt de rekenregels gebruiken (zoals in post #5) en dan staat er nergens zo'n absolute waarde. Of je doet het via de definitie. Maar schrijf die definitie eens volledig uit in dit specifieke geval.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 1.201
Re: Bewijs limiet functie met definitie (rijen)
"Zij f: a ⊆ R -> R een functie en zij a ∈ R U { +oo, -oo} een ophopingspunt van A. We noemen een
L ∈ R U { +oo, -oo} de limiet van f in a als voor elke rij (Xk) k ∈ N in A, met Xk ≠ a voor alle k ∈ N, die a als limiet heeft, geldt dat Lim f(Xk) = L"
Deze definitie bedoelt u ?
L ∈ R U { +oo, -oo} de limiet van f in a als voor elke rij (Xk) k ∈ N in A, met Xk ≠ a voor alle k ∈ N, die a als limiet heeft, geldt dat Lim f(Xk) = L"
Deze definitie bedoelt u ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 10.179
Re: Bewijs limiet functie met definitie (rijen)
Ja... Ik veronderstel tenminste dat je deze definitie wilt gebruiken? Schrijf nu eens op wat dat in deze situatie betekent.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 1.201
Re: Bewijs limiet functie met definitie (rijen)
Misschien eerst ook even de definitie van een ophopingspunt erbij halen:
"Zij A ⊆ R. We noemen a ∈ R U { +oo, -oo} een ophopingspunt van A als er een rij (Xk) k ∈ N in A bestaat, met Xk ≠ a voor alle k ∈ N, zodat Lim Xk = a"
Dus eigenlijk hebben we bijna altijd een ophopingspunt (als ze tot de verzameling behoren natuurlijk) behalve bij bv. singletons.
"Zij f: a ⊆ R -> R een functie en zij a ∈ R U { +oo, -oo} een ophopingspunt van A. We noemen een
L ∈ R U { +oo, -oo} de limiet van f in a als voor elke rij (Xk) k ∈ N in A, met Xk ≠ a voor alle k ∈ N, die a als limiet heeft, geldt dat Lim f(Xk) = L"
In deze situatie weten we dat 1 een ophopingspunt is; d.m.v. de definitie van een ophopingspunt weten we dus dat er minstens één rij bestaat in het domein dat naar het punt a convergeert. Nu moeten we aantonen dat voor elke rij die we kiezen in dit domein die naar deze a convergeert, de overeenkomstige beeldwaarden naar f(a) convergeren.
Beschouw de functie f: R-> R: x |-> 2x + 1; we moeten aantonen dat Lim x -> 1 (2x + 1) = 3.
Om aan te tonen dat dit het geval is moeten we bewijzen dat f(Xk) naar f(a) = 3 convergeert, voor elke willekeurig rij Xk die naar 1 convergeert.
Kies een willekeurige ε > 0.
Omdat de Lim Xk = 1, weten we dat er een K1 ∈ N bestaat zodat |Xk - 1| < ε; voor alle indices k ≥ k1.
We weten dat f(Xk) = 2Xk + 1 en dat f(1) = 3.
Het volstaat dus om aan te tonen dat er een k2 ∈ N zodat |f(Xk) - 3| < ε; voor alle indices k ≥ k2.
|f(Xk) - 3| < ε
= |2Xk + 1 - 3| = |2Xk - 2| = |2(Xk - 1)| = 2|Xk - 1| ≤ |Xk - 1| < ε
Waardoor het bovenstaande bewezen is.
"Zij A ⊆ R. We noemen a ∈ R U { +oo, -oo} een ophopingspunt van A als er een rij (Xk) k ∈ N in A bestaat, met Xk ≠ a voor alle k ∈ N, zodat Lim Xk = a"
Dus eigenlijk hebben we bijna altijd een ophopingspunt (als ze tot de verzameling behoren natuurlijk) behalve bij bv. singletons.
"Zij f: a ⊆ R -> R een functie en zij a ∈ R U { +oo, -oo} een ophopingspunt van A. We noemen een
L ∈ R U { +oo, -oo} de limiet van f in a als voor elke rij (Xk) k ∈ N in A, met Xk ≠ a voor alle k ∈ N, die a als limiet heeft, geldt dat Lim f(Xk) = L"
In deze situatie weten we dat 1 een ophopingspunt is; d.m.v. de definitie van een ophopingspunt weten we dus dat er minstens één rij bestaat in het domein dat naar het punt a convergeert. Nu moeten we aantonen dat voor elke rij die we kiezen in dit domein die naar deze a convergeert, de overeenkomstige beeldwaarden naar f(a) convergeren.
Beschouw de functie f: R-> R: x |-> 2x + 1; we moeten aantonen dat Lim x -> 1 (2x + 1) = 3.
Om aan te tonen dat dit het geval is moeten we bewijzen dat f(Xk) naar f(a) = 3 convergeert, voor elke willekeurig rij Xk die naar 1 convergeert.
Kies een willekeurige ε > 0.
Omdat de Lim Xk = 1, weten we dat er een K1 ∈ N bestaat zodat |Xk - 1| < ε; voor alle indices k ≥ k1.
We weten dat f(Xk) = 2Xk + 1 en dat f(1) = 3.
Het volstaat dus om aan te tonen dat er een k2 ∈ N zodat |f(Xk) - 3| < ε; voor alle indices k ≥ k2.
|f(Xk) - 3| < ε
= |2Xk + 1 - 3| = |2Xk - 2| = |2(Xk - 1)| = 2|Xk - 1| ≤ |Xk - 1| < ε
Waardoor het bovenstaande bewezen is.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 10.179
Re: Bewijs limiet functie met definitie (rijen)
Je was goed begonnen (alleen ga je er wel zeer langdradig over), maar hier ga je zwaar in de fout. 2A <= A zeg jij?Biesmansss schreef: ↑za 05 mei 2012, 10:57
|f(Xk) - 3| < ε
= |2Xk + 1 - 3| = |2Xk - 2| = |2(Xk - 1)| = 2|Xk - 1| ≤ |Xk - 1| < ε
Overigens, zie je nu dat je niets nodig hebt over 2 |Xk| + 1?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 1.201
Re: Bewijs limiet functie met definitie (rijen)
Ja, dat zie ik.Drieske schreef: ↑za 05 mei 2012, 11:03
Je was goed begonnen (alleen ga je er wel zeer langdradig over), maar hier ga je zwaar in de fout. 2A <= A zeg jij?
Overigens, zie je nu dat je niets nodig hebt over 2 |Xk| + 1?
Auw, ja daar heb ik echt niet goed over na gedacht blijkbaar.
Euhm, dan gewoon beargumenteren dat we |Xk - 1| kleiner krijgen dan ε / 2 ?
Dan krijgen we uiteindelijk iets als 2 . (ε / 2) = ε.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 10.179
Re: Bewijs limiet functie met definitie (rijen)
Dat is wel correct inderdaad. Dat is ook een veel gebruikte 'truc'.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 1.201
Re: Bewijs limiet functie met definitie (rijen)
Klopt, nog snel even een klein extra vraagje hier (als dat mag natuurlijk 
):
Om aan te tonn dat Lim x -> -oo(3 - 2x) = + 00 maak ik gewoon gebruik van de rekenregels
Lim (Xk + Yk - = Lim Xk + Lim Yk
Lim (A.Xk) = A Lim Xk ( met A ∈ R)
De vraag is nu:
Kunnen we dit ook bewijzen door enkel te staven op de definitie van een limiet van een rij ?
Beschouw de functie f: R-> R: x |-> 3 - 2x; we moeten aantonen dat Lim x -> -oo (3 - 2x) = +oo.
Om aan te tonen dat dit het geval is moeten we bewijzen dat f(Xk) naar f(a) = +oo convergeert, voor elke willekeurig rij Xk die naar -oo convergeert.
Kies een willekeurige m ∈ R.
Omdat de Lim Xk = -oo, weten we dat er een K1 ∈ N bestaat zodat Xk < m; voor alle indices k ≥ k1.
We weten dat f(Xk) = 3 - 2Xk.
Kies een willekeurig M ∈ R
Het volstaat dus om aan te tonen dat er een k2 ∈ N bestaat zodat f(Xk) > M; voor alle indices k ≥ k2.
Maar hoe moet het nu verder ? Een afschatting maken voor onze keuze van m ? Want als we deze gelijk nemen aan m weten we dat:
M < 3 + 2m ?
):Om aan te tonn dat Lim x -> -oo(3 - 2x) = + 00 maak ik gewoon gebruik van de rekenregels
Lim (Xk + Yk - = Lim Xk + Lim Yk
Lim (A.Xk) = A Lim Xk ( met A ∈ R)
De vraag is nu:
Kunnen we dit ook bewijzen door enkel te staven op de definitie van een limiet van een rij ?
Beschouw de functie f: R-> R: x |-> 3 - 2x; we moeten aantonen dat Lim x -> -oo (3 - 2x) = +oo.
Om aan te tonen dat dit het geval is moeten we bewijzen dat f(Xk) naar f(a) = +oo convergeert, voor elke willekeurig rij Xk die naar -oo convergeert.
Kies een willekeurige m ∈ R.
Omdat de Lim Xk = -oo, weten we dat er een K1 ∈ N bestaat zodat Xk < m; voor alle indices k ≥ k1.
We weten dat f(Xk) = 3 - 2Xk.
Kies een willekeurig M ∈ R
Het volstaat dus om aan te tonen dat er een k2 ∈ N bestaat zodat f(Xk) > M; voor alle indices k ≥ k2.
Maar hoe moet het nu verder ? Een afschatting maken voor onze keuze van m ? Want als we deze gelijk nemen aan m weten we dat:
M < 3 + 2m ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
