Ik denk niet dat ik helemaal volg wat je hiermee toont of wil tonen.
Begrijp ik het goed dat de conclusie zou zijn dat bijvoorbeeld f(x) = x
1/3geen limiet heeft voor x naar 0 omdat die exponent niet geheel is?
Voor het voorbeeld van hierboven: elk reëel getal heeft een unieke derdemachtswortel: die derdemachtswortel is positief voor x positief en negatief voor x negatief. Die functie kan je zonder problemen op heel R definiëren?
Zo is
\(f : \rr \to \rr : x \mapsto x^{1/3}\)
een continue functie; en dus bestaat die limiet niet alleen, de limiet is bovendien gelijk aan de functiewaarde f(0) = 0. Maar dat lukt inderdaad niet als je x
1/3definieert als exp(1/3.ln(x)), want dat bestaat enkel voor x > 0. Voor x < 0 zou je echter kunnen zeggen dat je x
1/3definieert als -exp(1/3.ln(-x)); definieer verder f(0) = 0.
Of een andere manier om het in zien resp. in te voeren; definieer het als de (unieke) inverse functie van
\(g : \rr \to \rr : x \mapsto x^{3}\)
; die bestaat want g is bijectief.
Maar dat lost de algemene vraag natuurlijk niet op, daarmee heb je immers nog niet elke functie van de vorm x
a met a reëel. Je moet bijvoorbeeld ook opletten met rationale exponenten omdat de regel x
a/b = (x
a)
1/b = (x
1/b)
a in het algemeen niet meer geldt voor x negatief.
Als je x beperkt tot positieve getallen kan dat inderdaad via exp(a.ln(x)). Wiskundigen 'houden' van zo'n definitie omdat die op een elegante manier al die machtsfuncties vastlegt, maar zoals je ziet eist die keuze (en beperking van x tot x>0) wel zijn tol: je 'gooit ook dingen weg' die tóch zinvol kunnen ingevoerd worden.
Dat brengt me terug bij de oorspronkelijke vraag/functie; volgens mij kan je ook die functie zonder problemen op heel R\{1} definiëren, dus:
\(f : \rr \setminus \left\{1\right\} \to \rr : t \mapsto (t-1)^{-1}t^{11/3}\)
En ook die functie is continu met limiet in 0 dus niets anders dan f(0) = 0. Als je in je wiskundige opbouw natuurlijk alleen machtsfuncties t
a voor t positief hebt ingevoerd ('gedefinieerd'), dan kan je zeggen dat in die context de limiet niet bestaat; met t-1 als grondtal is de functie dan zelfs niet gedefinieerd voor t < 1.
