"Beschouw functies f, g: A ⊆ Rn -> R en een ophopingspunt a van A. Veronderstel dat f(x) ≤ g(x) voor alle x ∈ A en dat Lim a f en Lim a g bestaan in R U { +oo, -oo}. Dan is Lim a f ≤ Lim a g"
Om dit te bewijzen zou ik gebruik maken van een bewijs uit het ongerijmde; we onderscheiden hiervoor 4 gevallen
(1) Lim a f = +oo en Lim a g = -oo
(2) Lim a f = R en Lim a g = R
(3) Lim a f = +oo en Lim a g = R
(4) Lim a f = R en Lim a g = -oo
Bewijs (1)
Lim a f = +oo en Lim a g = -oo
Veronderstel dat (Xk) k ∈ N een willekeurige rij is die naar a convergeert.
Via de definitie van een limiet van een functie weten we dat:
Lim f(Xk) = +oo en Lim g(Xk) = -oo
Kies een willekeurige M ∈ R.
Omdat de Lim f(Xk) = +oo, bestaat er een k1 ∈ R zodat f(Xk) > M; voor alle indices
k ≥ k1.
Omdat Lim g(Xk) = -oo, bestaat er een k2 ∈ R zodat g(Xk) < M; voor alle indices
k ≥ k2.
Neem nu k0 ≥ max{k1, k2}. Kies een willekeurige K ≥ k0 dan geldt:
g(Xk) < M < f(Xk)
Maar dit is strijdig met het gegeven dat f(x) ≤ g(x).
Ik heb een sterk vermoeden dat dit bewijs klopt, maar ik zou dit nog graag even geverifieerd hebben.
Dank bij voorbaat!
Laatste berichten
-
15:53
positie
-
14:16
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 7
-
14:16
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
13:57
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
-
11:32
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 6
-
11:31
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 14
-
10:42
projectiel 8
-
10:37
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
09:48
Schroefdraad berekening 4
-
09:25
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
19:29
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
22 apr
Rotatie van het heelal 41
-
22 apr
Weerfrustratie 5
-
22 apr
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
-
21 apr
speciale rel. theorie 5
-
21 apr
Vogels in de stad zijn goede klussers
-
21 apr
Ervaringen met "herontdekkingen" 15
-
20 apr
Herleiden afmetingen vanaf een foto 19
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
[wiskunde] Als f(x) ≤ g(x) -> Lim f(x) ≤ Lim g(x)
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 1.201
Als f(x) ≤ g(x) -> Lim f(x) ≤ Lim g(x)
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 10.179
Re: Als f(x) ≤ g(x) -> Lim f(x) ≤ Lim g(x)
Het klopt, maar kan handiger (en met minder gevallen). Bewijs gewoon dat als lim f(x) = L (met L reëel), dan moet de limiet van g(x) groter zijn dan L. En als lim f(x) = +oo, dan moet de limiet van g(x) ook gelijk zijn aan +oo. Het geval -oo wordt overbodig, want analoog.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 1.201
Re: Als f(x) ≤ g(x) -> Lim f(x) ≤ Lim g(x)
Drieske schreef: ↑za 05 mei 2012, 20:33
Het klopt, maar kan handiger (en met minder gevallen). Bewijs gewoon dat als lim f(x) = L (met L reëel), dan moet de limiet van g(x) groter zijn dan L. En als lim f(x) = +oo, dan moet de limiet van g(x) ook gelijk zijn aan +oo. Het geval -oo wordt overbodig, want analoog.
Klopt.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 10.179
Re: Als f(x) ≤ g(x) -> Lim f(x) ≤ Lim g(x)
Okee 
. Je ziet maar welk pad je bewandelt. En bij vragen horen we het wel 
.
. Je ziet maar welk pad je bewandelt. En bij vragen horen we het wel .Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
