[wiskunde] Bereken van limieten (eventueel met Sandwich-theorema)

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 07-05-'12, 15:24

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Bereken van limieten (eventueel met Sandwich-theorema)

a) Lim x -> +oo x.sin (1 / x)

b) Lim x -> oo (x + sin x) / x

c) Lim x -> oo (x + sin x) / (x + cos x)

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

a)

Lim x -> +oo x.sin (1 / x) = Lim x -> 0 sin (x) / x

Het is niet zo moeilijk om aan te tonen dat Lim x -> 0 sin (x) / x = 1; maar hoe bewijs ik

dat Lim x -> +oo x.sin (1 / x) = Lim x -> 0 sin (x) / x ?

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

b)

Lim x -> oo (x + sin x) / x

We weten dat:

(x - 1) / x ≤ (x + sin x) / x ≤ (x + 1) / x

Lim x -> oo (x - 1) / x = Lim x -> oo (x + 1) / x = Lim x -> oo (x + sin x) / x = 1

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

c)

Lim x -> oo (x + sin x) / (x + cos x) = ?

Hoe begin ik hieraan ?

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Dank bij voorbaat!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 07-05-'12, 15:52

Fruitschaal

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Bereken van limieten (eventueel met Sandwich-theorema)

Bij a) kan je volgens mij gewoon de substitutie
\(x = \frac{1}{u}\)
kiezen.

Dan krijg je
\(\lim_{\frac{1}{u} \rightarrow \infty} \frac{1}{u}\sin(1/\frac{1}{u}) = \lim_{u \rightarrow 0} \frac{\sin(u)}{u}\)
of bedoel je dit niet?
Omhoog

Bericht 07-05-'12, 16:07

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Bereken van limieten (eventueel met Sandwich-theorema)

Fruitschaal schreef: ↑ma 07 mei 2012, 15:52
Bij a) kan je volgens mij gewoon de substitutie
\(x = \frac{1}{u}\)
kiezen.

Dan krijg je
\(\lim_{\frac{1}{u} \rightarrow \infty} \frac{1}{u}\sin(1/\frac{1}{u}) = \lim_{u \rightarrow 0} \frac{\sin(u)}{u}\)
of bedoel je dit niet?


Nee, ik denk dat het inderdaad zo eenvoudig is. Bedankt! :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 07-05-'12, 16:32

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Bereken van limieten (eventueel met Sandwich-theorema)

Biesmansss schreef: ↑ma 07 mei 2012, 15:24
c)

Lim x -> oo (x + sin x) / (x + cos x) = ?

Hoe begin ik hieraan ?
Sin en cos zijn begrensd, dus deel door x teller en noemer ...
Omhoog

Bericht 07-05-'12, 20:19

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Bereken van limieten (eventueel met Sandwich-theorema)

Safe schreef: ↑ma 07 mei 2012, 16:32
Sin en cos zijn begrensd, dus deel door x teller en noemer ...
Dus dan krijgen we:

Lim x -> oo ((1 / x) + (sin x / x) / ((1 / x) + (cos x / x))

Maar hoe moet het nu verder ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 07-05-'12, 20:46

Fruitschaal

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Bereken van limieten (eventueel met Sandwich-theorema)

Biesmansss schreef: ↑ma 07 mei 2012, 20:19
Dus dan krijgen we:

Lim x -> oo ((1 / x) + (sin x / x) / ((1 / x) + (cos x / x))

Maar hoe moet het nu verder ?
Dan krijg je niet dat. x gedeeld door x is niet 1/x, maar 1 ;)
Omhoog

Bericht 07-05-'12, 21:34

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Bereken van limieten (eventueel met Sandwich-theorema)

Fruitschaal schreef: ↑ma 07 mei 2012, 20:46
Dan krijg je niet dat. x gedeeld door x is niet 1/x, maar 1 ;)
Klopt, dit kwam waarschijnlijk door mijn slordige notatie hier. :D

En ja, dan is het verder wel eenvoudig

Zowel 'sin x / x' als 'cos x / x' hebben 0 als limiet voor x gaan naar oneindig.

Dus dan krijgen we uiteindelijk 1 als limiet.

Bedankt beiden!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”