[wiskunde] Voorbeeld functie die overal continu is maar nergens afleidbaar

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 07-05-'12, 17:07

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Voorbeeld functie die overal continu is maar nergens afleidbaar

Het is eenvoudig om te bewijzen dat wanneer een functie afleidbaar is in een punt a, deze ook continu is in a.

Het omgekeerde is echter niet waar; er zijn functies die overal continu zijn maar nergens afleidbaar.

Bv. f: R -> R: x |-> |X|

Deze functie is continu in het punt 0.

Bewijs

Om aan te tonen dat deze functie continu is in 0 volstaat het om aan te tonen dat wanneer we een willekeurige rij Xk hebben die naar 0 convergeert, de beeldrij dan naar f(a) = 0 convergeert.

Kies een willekeurige ɛ >0.

Omdat de Lim Xk = 0, bestaat er een k1 ∈ N zodat |Xk| < ɛ, voor alle indices

k ≥ k1.



Klopt deze redenering ?

We weten dat f(Xk) = |Xk| en f(0) = 0

Neem nu k ≥ k1

Dan geldt |f(Xk) - 0| = ||Xk|| = |Xk| < ɛ

Hierdoor is bewezen dat deze functie continu is in a.

Nu kunnen we ook bewijzen dat deze functie niet afleidbaar is in a

Bewijs

De afgeleiden van f: R -> R: x |-> |X| in het punt 0:

f'(a) = Lim h -> o (f(0 + h) - f(0)) / h = Lim h -> o f(h) / h

Om aan te tonen dat deze limiet niet bestaat volstaat het om 1 rij te vinden in R, die naar 0 convergeert en waarvoor Xk ≠ 0 voor alle k ∈ N waarvan f(Xk) niet convergeert (het zou eventueel ook volstaan om twee rijen te waarvoor de beelrijen een verschillende limiet hebben).

Neem de rij Xk = (-1)k/ k. Deze rij convergeert naar 0 en elke term is verschillend van 0.

|(-1)k/ k| / ((-1)k/ k) = (1 / k) / ((-1)k/ k) = (-1)k

Deze rij (-1)k convergeert niet. Hierdoor is aangetoond dat de afgeleide niet bestaat.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 07-05-'12, 22:19

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Voorbeeld functie die overal continu is maar nergens afleidbaar

Ik snap je voorbeeld niet goed... Is deze functie nergens afleidbaar?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 08-05-'12, 09:31

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Voorbeeld functie die overal continu is maar nergens afleidbaar

Drieske schreef: ↑ma 07 mei 2012, 22:19
Ik snap je voorbeeld niet goed... Is deze functie nergens afleidbaar?


Neen, deze functie is overal afleidbaar behalve in 0.

Er is een propositie die zegt: "Als een functie afleidbaar is in a, dan is ze continu in a".

Welnu ik wil bewijzen dat het omgekeerde niet opgaat: "Het is niet omdat een functie continu is in a, dat deze ook afleidbaar is in a".
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 08-05-'12, 10:00

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Voorbeeld functie die overal continu is maar nergens afleidbaar

Ah okee... Omdat je in je openingspost zet 'er bestaan functies die overal continu zijn, maar nergens afleidbaar'. Wat je zegt, klopt. Je kunt ook simpelweg tonen dat linker- en rechterafgeleide niet gelijk zijn. Tenzij je dat concept nog niet kent uiteraard ;) .
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 08-05-'12, 10:08

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Voorbeeld functie die overal continu is maar nergens afleidbaar

Drieske schreef: ↑di 08 mei 2012, 10:00
Ah okee... Omdat je in je openingspost zet 'er bestaan functies die overal continu zijn, maar nergens afleidbaar'. Wat je zegt, klopt. Je kunt ook simpelweg tonen dat linker- en rechterafgeleide niet gelijk zijn. Tenzij je dat concept nog niet kent uiteraard ;) .


Ik ken dat concept van vroeger ja, maar in deze cursus zijn we daar nog niet; vandaar dat ik het zo doe.

Nogmaals bedankt om het even te bekijken! :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”